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1、§4空间中的直线与平面一、直线的方向名称与说明图形[方向角]通过原点O的直线OM与三条坐标轴的夹角a,b,g称为该直线的方向角(OM的方向为离开原点O的方向)：a=∠MOx，b=∠MOy，g=∠MOz[方向余弦]直线的方向角的余弦称为方向余弦：，，式中，l2+m2+n2=1[方向数]通过原点且平行于直线L的直线OM上任意一点W的坐标(p,q,r)称为直线L的方向数，而为直线OM的方向余弦名称与说明图形[过两点的直线的方向余弦]，，式中这时直线的正向为M1(x1,y1,z1)到M2(x2,y2,z2)的方向.一、平面的方程方程与图形说明[截距式]a,b,c分别称为平面在三条坐标轴上的截距[点法
2、式](A,B,C不同时等于零)平面通过点M(x0,y0,z0)，且法线N的方向数为A,B,C[三点式]平面通过三点:M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,z2)M3(x3,y3,z3)或=0方程与图形说明[一般式]Ax+By+Cz+D=0(A,B,C为该平面的法线的方向数，且不同时等于零)当D=0时，平面通过原点当A=0时(或B=0，或C=0)时，平面与x轴(或y轴，或z轴)平行当A=B=0时(或A=C=0，或B=C=0)时，平面与Oxy平面(或Ozx，或Oyz)平行[法线式](a,b,g为平面的法线的方向角，p³0为法线长即原点到平面的距离)平面的一般式可化为法线式，式中称为平面的法化
3、因子，当D<0时取正号；D>0时取负号[矢量式](r-r0)×a=0平面通过矢径r0的终点，且与已知矢量a垂直，r为平面上任意一点的矢径一、直线的方程方程与图形说明[一般式(或交面式)]L把直线L作为两个平面的交线，它的方向数为[对称式(或参数式)]或直线L通过点M(x0,y0,z0)，且具有方向数p,q,r方程与图形说明[两点式]直线L通过M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)两点[射影式]L直线L是y=ax+g和z=bx+h两个平面的交线；通过点(0,g,h)且具有方向数1,a,b[矢量式]r=r0+ta(-¥4、意一点的矢径一、空间中点、直线、平面的相互关系方程与图形公式与说明[二平面的夹角]P1A1x+B1y+C1z+D1=0P2A2x+B2y+C2z+D2=0式中就是二平面P1和P2的二面角方程与图形公式与说明[平面束×三平面共线的条件]Pl(A1x+B1y+C1z+D1)+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0(l为参数，-¥5、，Pl所表示的通过L的平面的全体称为平面束，L称为束的轴.设P3为A3x+B3y+C3z+D3=0，则三个平面P1,P2,P3共线的条件为矩阵的秩等于2.对l,m的一对确定值，Plm表示通过三平面P1,P2和P3交点G的一个平面，当l,m取一切值时，Plm所表示的通过G的平面的全体称为平面把，G称为把的顶点.设P4为A4x+B4y+C4z+D4=0，则四个平面P1,P2,P3,P4共点的条件为行列式[点面的距离]法线式xcosa+ycosb+zcosg-p=0一般式Ax+By+Cz+D=0d法=
6、x0cosa+y0cosb+z0cosg-p
7、式中d为点M(x0,y0,z0)到平面的距离方程与
8、图形公式与说明[点线的距离]L式中d为点M(x0,y0,z0)到直线L的距离，i，j，k为三个坐标轴上的单位矢量，最外面的符号“
9、
10、”表示矢量的模[二直线的夹角]L1L2式中j为二直线L1和L2的夹角[二不平行直线的最短距离]L1L2所谓最短距离是指L1,L2的公共垂线与此两线交点之间的距离，式中正负号与行列式取同号.从此推出二直线共面的条件为d=0，所在平面的方程为方程与图形公式与说明[直线与平面的夹角]LPAx+By+Cz+D=0式中j为直线L与平面P的夹角[直线与平面的平行与垂直条件]平行条件垂直条件线与线面与面线与面p1p2+q1q2+r1r2=0A1A2+B1B2+C1C2=0
