第五讲 平面几何的著名定理.pdf

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1、奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理》主编：贾广素第五讲平面几何的著名定理1998年，美国科学家和教育家在美国的科学年会上一致认为：21世纪，几何学万岁.除几何学理论广泛应用于CT扫描、无线电、高清晰度电视等最新电子产品与最新医疗科学之外，其本身具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，有助于培养学生的逻辑推理能力有助于数形结合方法解题.用点、线、面可构成许许多多千姿百态的几何图形，直观的几何图形便于学生认识问题、思考问题、解决问题.如果能养成一个好习惯：“每做一道题都画一个几何图形

2、或一幅几何示意图”，这对于理解、思考、解题都是大有益处的.在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在.同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300分中的50分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”.除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.一．梅涅劳斯定理梅涅劳斯是古希腊的著名的几何学

3、家，在他著名的几何著作《球论》中，他提出了“梅涅劳斯”这条著名的定理.梅涅劳斯定理：设DEF,,分别是ABC的边BCCAAB,,或其延长线于点，若DEF,,三BDCEAF点共线，则1.○1DCEAFB这里有几点需要向大家说明：1.不过顶点的直线与三角形3边的关系有两种情况；（1）若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；（2）直线与三角形的三边均交于外点，因而本题的图形有2个.2.结论的结构是，三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为

4、1的等式端到点点点点点点截端到截端到截××＝1.截到点点点点点点端截到端截到端3.这个结论反映了形与数的结合，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等47奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理》主编：贾广素于“1”,反过来○1式成立时，可证“DEF,,共线”（逆定理也成立）.这里的“1”,如果考虑到线段的方向，应为“1”.4.此题证明的基本想法是将6条线段的比转化为3条线段abc,,的连环比，能使分子分abc母相约1.为此，可有多种作平行线的方法.下面提供一个不作辅助线的三角证法

5、.bca证明：如右图所示，在FBDCDE,,AEF中，由正弦定理得：ABDsinE,BFsinFCEsinF,ECDsinAAFsinsin.AEsin()sinBCDBC将上述三式相乘即得结论.DAFBD一般地，设DEF,,为ABC三边（或其延长线）上的三点，且,,12FBDCCES1DEF123,则有,从而S01.3DEF123EAS(1)(1)(1)ABC123梅涅劳斯定理的应用非常广泛，不仅

6、如此，其证明方法也是很多的，下面我们再提供两种常用的证明方法：A证法二：如右图所示，过点A直线AAD//F交BC的延长F线于A，ECECDAFAD则,，EADAFBDBEDCEAFBDBDCDAD故1.BCDADCEAFBDCDCDADBBDSSCESSSSAFDFBCEFCEFCDEFCDAED证法三：由,,.此三式相乘即可得证.DCSEASSSSFBSDFCEAFEAFDABAFDFBD梅涅劳斯定理的逆定理：设DEF,,分别是

7、ABC的三边BCCAAB,,或其延长线上的BDCEAF点，若1,○2DCEAFB则DEF,,三点共线.BDCEAF1证明：设直线DE交AB于点F，由梅涅劳斯定理，得到1.1DCEAFA1BDCEAFAFAF1由题设，有1，从而.DCEAFBFBFB1AFAF1又由合比定理，知,故有AFAF，从而F与F重合，即DEF,,三点共线.11ABAB有时，也把上述两个定理合写有一个定理：设DEF,,分别是ABC的三边BCCAAB,,所48奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理

8、》主编：贾广素在直线（包括三边的延长线）上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则DEF,,三点共线BDCEAF的充要条件是1.（这里“X,,YZ三点中有奇数个在边的延长线上”这一点非常DCEAFB重要，否则梅涅劳斯定理不成立.）角元形式的梅涅劳斯定理：设DEF,,分别是ABC的三边BCCAAB,,所在直线（包括三边的延长线）上的点，则sinBADsinACFsinCBEDEF,,三点共线的充要条件是1.○3sinDACsinFCBsinEBA1