平面几何著名定理

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1、平面几何的著名定理（高中学理必用的...）2012-5-1306:22阅读(30)转载自ケ信仰ベ·赞(2)赞(2)赞(2)赞(2)·转载(61)·分享(9)·评论(1)·复制地址·举报·编辑上一篇 

2、下一篇：分清原因祛痘这...一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方  二、帕普斯定理   　帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。   

3、                                                                                             三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC, (3)(AC)^2;=CD·BC

4、。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。   证明一　　   过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，　　则AF/FB=AG/BD,CE/EA=DC/AG。　　三式相乘得：(AF/FB

5、)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二　　   过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三　　   过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，　　所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=

6、BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'　　所以(AF/FC)×(BD/DA)×(CE/EB)=1证明四　　   连接BF。　　（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）　　=1　　此外，用[1]该定理可使其容易理解和记忆：　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=

7、1。　　　第一角元形式的梅涅劳斯定理  如图：若E，F，D三点共线，则　　(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1　　即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积　　该形式的梅涅劳斯定理也很实用　　第二角元形式的梅涅劳斯定理　　在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)   五、塞瓦定理  　　　塞瓦定理：在△ABC内任取一点O，　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(

8、BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法简介　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：　　∵△ADC被直线BOE所截，　　∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①　　而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③　　同理CE/EA=S△BOC/S△A