§8.1.1椭圆及其标准方程(一) (2)

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1、椭圆及其标准方程2021/9/2011.如何画出一个椭园??[1]取一条细绳,[2]把它的两端固定在板上的两点F1,F2[3]用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形观察做图过程:[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定,所以M到两个定点的距离和也固定。黄冈中学网校达州分校2021/9/202椭圆的定义:平面内到两个定点F1,F2的距离和等于常数2a(2a>

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距(=2c).注意:1椭圆是一个平面图形2动点到两定点的距离之和为定长2a3常数2a要大

4、于2c

5、PF1

6、+

7、PF2

8、=2a>2c绳长大于2c时,轨迹是椭圆;绳长等于2c时,轨迹是以F1F2为端点的线段;绳长小于2c时,无轨迹。椭圆的几何等式:黄冈中学网校达州分校2021/9/203练习一:1.平面内与两个定点F1,F2的距离和等于常数(大于

9、F1F2

10、)的点的集合叫做椭圆.()3.与两个定点F1,F2的距离和等于常数(大于

11、F1F2

12、)的点的集合叫做椭圆.()判断下列各题的正误:√××黄冈中学网校达州分校2021/9/204思考:yx椭圆的标准方程(1).如何求曲线的方程?(2).你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单?求曲线的方程,一般有下面几个

13、步骤:①建立适当的坐标系,设出曲线上任意一点M的坐标(x,y);②写出适合条件的点M的集合;③用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式⑤指定曲线方程.F1F2O解:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.设点M(x,y)是椭圆上的任意一点M(x,y)设M与F1,F2的距离的和是2a,椭圆的焦距为2c(c>0),则F1(-C,0),F2(C,0).(-C,0)(C,0)黄冈中学网校达州分校2021/9/205(a2-c2)x2+a2y2=a4-a2c2黄冈中学网校达州分校2

14、021/9/206化简:观察与思考:cayxF1F2Pob(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)黄冈中学网校达州分校2021/9/207y讨论:如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,-c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?XF1F2黄冈中学网校达州分校2021/9/208F1F2M(x,y)oxyF2yxoF1M(x,y)焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)焦点在y轴上,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)黄冈中学网校达州分校2021/9/209注意:2.两种方程中a、b、c间关系3.焦点位置不同

15、,方程不同4.确定a、b,就可确定椭圆方程abc1.椭圆的标准方程,一定是焦点在坐标轴上,两焦点连线的中点为坐标原点黄冈中学网校达州分校2021/9/2010练习二:1.判断下列椭圆的焦点在哪个轴上?并指明,写出焦点坐标.(-3,0),(3,0)(0,-5),(0,5)(0,-1),(0,1)答:x轴;25,16;答:y轴;169,144;答:y轴;黄冈中学网校达州分校2021/9/2011练习二:2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在x轴上.(2)a=4,c=焦点在y轴上.(3)a+c=10,a-c=4黄冈中学网校达州分校2021/9

16、/2012解:1)关键点:椭圆的焦点在x轴上。所以标准方程为:因为:2a=10,2c=8所以a=5,c=4则椭圆的标准方程为例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;黄冈中学网校达州分校2021/9/2013解:(2)焦点在y轴上,标准方程为:所以所求椭圆的标准方程为例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0,2)并且椭圆经过点黄冈中学网校达州分校2021/9/2014例2已知B、C是两个定点,

17、BC

18、=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的

19、轨迹方程.ABCxyO解:建系如图,由题意

20、AB

21、+

22、AC

23、+

24、BC

25、=16,

26、BC

27、=6,有

28、AB

29、+

30、AC

31、=10,∴由椭圆的定义知:点A的轨迹是椭圆,2c=6,2a=10,∴c=3,a=5,b2=a2-c2=52-32=16.故顶点A的轨迹方程是:黄冈中学网校达州分校2021/9/2015例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线?解:设动圆圆心为P(x,y),半径为R,两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程x2+y2+6x+5=0x2+y2-6x-91=0配方,得

32、(x+3)

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