2012中考数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略

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1、初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略姓名整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一

2、．数与式中的整体思想【例1】已知代数式3x2－4x+6的值为9，则的值为()A．18B．12C．9D．7分析：如果根据题意直接求出x再代入到中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是的3倍，所以可以将看作一个整体，则．解：选（）此题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值，其中a满足a2－2a－1=0．【分析】对分式进行化简结果为，如果把a求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a2－2a看成一

3、个整体，则由已知可得a2－2a=1，所以原式=．=解：原式=，当a2－2a=1时，原式==【例2】.已知，则的值等于（）A.B.C.D.分析：根据条件显然无法计算出，的值，只能考虑在所求代数式中构造出的形式，再整体代入求解．解：∵ab≠0.∴将的分子与分母都除以得，说明：本题也可以将条件变形为，即，再整体代入求解．【例3】已知，，，求多项式的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到，只要求得，，这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．5解：由已知得，，，所以原式说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含

4、有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例4】已知，且，则的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出，再代入肯定比较麻烦，注意到条件中是一个整体，因而我们只需求得，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：，所以，从而，解得【例5】已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为为分析：如果把代入，解出，的值，再代入进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组中令，则此方程组变形为，对照第一个方程组即知，从而，容易得到

5、第二个方程组的解为，这样就避免了求，的值，又简化了方程组，简便易操作．解：说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．【例6】．解方程分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设，则原方程变形为，即，解得，，所以或，从而解得，，，，经检验，，，都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设，将方程变形为来解．（2）利用整体换元，我们还可以解

6、决形如这样的方程，只要设5，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程来求解．原方程的解为对于形如这样的方程只要设，从而将方程变形为一元二次方程来求解，原方程的解为。说明：换元法一般包括换元法和换元法两种三．函数与图象中的整体思想【例7】已知和成正比例（其中、是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个函数的解析式解：（1）因与成正比例，故可设，整理可得因，、为常数，所以是的一次函数.（2）由题意可得方程组解得，.故所求的函数解析式为．说明：在解方程组时，单独解出、、是不可能的，也是不必要的．故将看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解

7、析式的一个常用方法．四．几何与图形中的整体思想【例8】．如图，分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与△中的外角相等，同理，分别与，的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为，，,根据三角形外角定理，得°，所以（）°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．【例9】．如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任一点（点不与，重合），且∥交于，∥交于，则图中阴影部分的面积为．解：不难看出，四边形为平行四边形，从而△的面积等于△的面积，故图中阴影部分的面积等于△

8、的面积，又因为，所以图中阴影部分的面积