[教学]整体思想的解题策略

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1、整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治Z。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因索合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景,达到快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明丄x?xd・・・x岂二246In丁2〃+1证：

2、设M二丄X-X--X^l,N=-X-X--X^-,显然M

3、O①bxo2+cx()+a=O②cxo2+axo+b=O③①+②+③(a+b+c)(X0~+x()+1)=0Txo2+xo+1=(xo+-)+->0,/•a+b+c=024评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。二、整体求解解题过程屮，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。例3：设冇四个数,其屮每三个数Z和分别为22、20、17、25,求此四个数。解：设此四个数之和为x,则得方程(x—22)+(x—20)+(x—17)+(x—2

4、5)=x,解得x=28・•・四数依次为8、3、6、11评注：本题解法考虑到四数Z和——问题的整体，可使问题屮四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。木题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。一-4sina+cosa+1皿/丄.例4：已矢口2sina—cosa=1,求的们sina-coso+1解:设++l贝ij(i—k)sina+(l+k)cosa=k—1①sina—cosa+l又2sina—cosa=1②角乍①②得sina二Ucosa=—~(kH3)3+k3+£由(

5、二L)2+(n)2二I解得k=0或k=23+k3+a故原式的值为0或2评注：木解法利用"2+30+1丸这一整体进行求解,能简捷解决问题。sino—cosg+1本题若曲已知条件2sina—cosa=1及sin2a+cos2a=1联立解得sina、cosci的值，再代入求值，计算较为繁琐。例5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别曇60?,4亦,和3m2,求它的体积。解如图，设S-ABC的三侧棱长分别为xm,ym,zm,体积为Z,则由题意得—xy=6,—yz=4,—zx=3222・•・得(xyz)2=(2

6、4)2,则V=丄xyz=丄X24=4m3B66注本题没用解方程组的方法，先求x,y,z,而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。例6、球而内接圆台的高为h,球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧而积S=2兀ph一---、分析与证明：如图，需求的片、弋是S=Ji(r+r)l①，但r,r,l均未知,!下面寻找它们与卩A：[B为此作辅助线，将r,r,l,h,p'都集中到有联系的图形Z中。丿/(1)作DD’丄AB=>DD=h'、(2)作E0丄ADnE为AD的屮点(垂直于弦的半径平分弦)(3)作EE±00nEE=

7、-—-2在RtADDA和RtAEE0中DA丄OEDD±EEf=>ZADD=ZOEEZADD,ZOEE为锐角丿r+r=>ADDAEE0=>—=即OEADpI=>(r+r)l=2ph②①代入①得S=2nph注按常规解法，必须把r,r,l分别用p,h表示出來，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将(r+门1视为-•整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。三、整体换元在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。例7：等差数列临｝、｛b

8、n｝的前n项和分别为Sn和Tn，若竺二王Tn3n+1求购贏的值。解：・・・5+知_

9、=2q“，b}+b2n_,=2bn迅=如+如丿_；(2“-1)側+如丿=$2”_,b"2(勺+妇1)2⑵2—1)®+)T“・・・lim竺"十bn2⑵7—1)_4〃一23(2/?-1)+16n—2评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n>p、qWN,且m+n二p+q时，则am+an=ap+