中学数学研究-上140405中英高中微积分内容比较研究

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1、资料编号15157中英微积分刘姣发表在上140405上属于教法、理论、课程题为《中英高中微积分内容比较研究》英国的ALevel课程是与普通中等教育GCSE(GeneralCertificateSecondaryEduca-tion)直接衔接的高级课程，是英国学生进入大学前的主要测试课程，程度相当于我国中学最后两年的课程.ALevel学制为两年，第一年称为ASLevel,第二年称为A2Level,全部修读完并经考试合格后获得ALevel证书W.本研究选择的数学教材为英国剑桥出版社出版的SMPAS/A2MathematicsCorelforAQA(简称Corel)、Core2、C

2、ore3和Core4[2】，以及中国人民教育出版社出版的普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2(简称人教版)[3]_1.微积分主要内容与基本结构分析1.1主要内容的比较人教版教材的微积分内容：(1)变化率与导数(2)几个常用函数的导数(3)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(4)函数的单调性与导数(5)函数的极值与导数(6)函数的最大(小)值与导数(7)生活中的优化问题举例(8)定积分的概念(9)微积分基本定理(10)定积分在几何中的应用(11)定积分在物理中的应用英国AQA教材的微积分内容：Core1(1)变化率与导数(2)多项式函数的导数(3)函数的单调性(4)可微

3、函数的极值(5)函数的最大值最小值(6)二阶导数(7)最优化(8)不定积分(9)多项式函数的积分(10)定积分(11)定积分的几何应用(12)微积分基本定理Core2(1)zn的导数(n可取负数、小数）(2)：rn的积分(„可取负数、小数）(3)数值积分：梯形法则Core3(1)指数函数的导数(2)对数函数的导数(3)函数积商的导数(4)三角函数的导数(5)复合函数的导数(链式法则）(6)基本初等函数的积分(7)换元积分(8)分部积分(9)凑微分法(10)乘积的积分(11)两个标准函数的积分Core4(1)一阶微分方程(2)分离变量法(3)指数增长与衰减(4)参数方程的微分(

4、5)隐函数的微分(6)部分分式积分从上述内容可以看出，人教版微积分的内容相当于AQA教材中Core1的内容，较大的差别是人教版给出了几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，而Core1中包含了二阶导数和不定积分的内容.Core2、Core3、Core4的微积分内容，已相当于中国大学阶段的微积分内容，包含导数和积分的复杂运算.下面，我们主要对人教版教材微积分的内容与Core1的内容做进一步的分析与比较.1.2基本结构的比较人教版微积分内容编排的基本结构是：(1)由变化率问题引出导数的概念，给出求导数的方法、运算法则及其应用；(2)通过分割、累加、求极限的方法

5、导出定积分的概念；(3)借助于位移函数s⑴与速度函数⑴的关系i⑴=归纳出微积分基本定理，利用微积分基本定理计算定积分；(4)应用定积分解决几何和物理中的一些问题.与人教版教材不同的是,Core1先从导数引出不定积分，再引出定积分和微积分基本定理，不定积分成为导数与定积分之间的桥梁.Core1、Core2、Core3、Core4中微积分内容与其他的数学内容依照螺旋上升的方式排列.2.主要概念及原理的导入方式比较人教版教材倾向于由实际问题引入概念，而原理则直接给出.AQA教材则从实际问题引入导数的概念，并在数学问题的基础上推导出其他微积分概念及原理.2.1主要概念导入的比较(1)

6、导数概念人教版教材与AQA教材在导数概念的引入方式上相似，都不是从极限与连续性的概念入手，而是通过大量实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数思想，理解导数的含义，并逐步引出导数概念.(2)积分概念人教版教材通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程两个实例，向学生展示了分割、近似代替、求和、取极限的过程来导入定积分的概念.但AQA教材运用导数与积分互为逆运算来引入不定积分的概念，再直接引出定积分的概念.2.2主要原理导入的比较(1)导数及积分原理人教版教材直接简约地给出公式及法则，再给出例题，由学生模仿练习.AQA教材则花了较长的篇幅，使用一系列例题

7、或练习，由学生推导并归纳出公式及法则，最后在核心知识点环节再列出公式及法则.(2)微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式）人教版教材以物体的位移这一实际问题为载体，运用导数和定积分的概念归纳出微积分基本定理，只用一句话，顺带提及导数与积分互为逆运算.AQA教材运用导数与积分互为逆运算来引入不定积分的概念，再直接引出定积分的概念，并给出微积分基本定理.3.主要知识点的严格性与综合程度比较3.1主要知识点的严格性水平比较我们将严格性划为四个水平：水平1-直接给出理论，没有任何解释或证明；水平2-通过例子解释理论