中学数学研究-陕140405直面无限 彰显数学教学品位

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1、资料编号15277无限蒋亮发表在陕140405上属于教法、辅导、教材题为《直面无限彰显数学教学品位》“无限”,一个人们熟知的名词，一个须臾难离的概念。文学上的“无限”是一种意境。“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下。”初唐诗人陈子昂的诗句最直接地反映了古人对茫茫时空和悠悠宇宙寄以遐想的“无限”。哲学中的“无限”是一种知性。“真正的无限是它自身和有限的统一，而这就是哲学范畴的涵义”，哲学家黑格尔诠释的是内外一体、主客不分、有无同在的“无限”。自然科学里的“无限”是一种信念。物质可以无穷细分，生物可以不断进化，化合物可以无尽合成，而以上所涉及

2、的“无限”，只是一种信念罢了。只有数学，才主动地引人了“无限”，正面研究“无限”，给“无限”以明确的界说，赋“无限”以广阔的应用。关于数学的“无限”，是人类智慧的结晶。在中学数学教材中，虽说涉及“无限”的内容很丰富，但其表现方式仍可归类于“时空之无限”（用周期应对）、“过程之无限”（用极限刻画）和“对象之无限”等3种基本类型。本文中，笔者仅对“对象之无限”的应对方法做一些探究，以期更多的同行直面“无限”，认识“无限”，把握“无限”。从某种意义上说，只有认识了“无限”，才能领会教材的真谛，只有把握了“无限”，才能体现数学教学的品位。1用“任意”应对“无穷”

3、面对无限多个对象，无论我们怎么努力，总是有限的，如何跨越“有限”到达“无限”的彼岸？数学家创造了“任意的”这个逻辑量词。对“任意的，，对象进行处理，以实现一个也不少的“无限，，目标。这种用“任意”来应对“无穷”的数学方法，具有独创性，是中学数学应对“无限”的主旋律。用“任意”应对“无穷”，是对无限个对象进行的一种逻辑论证。以整体中的任意一个对象具有某种性质为论据，推理出全体对象都具备某种性质为论题，是命题逻辑中的形式证明方法。这种推理具有保真性和有效性，它是中学数学中处理“无限”的最基本、最质朴的数学思想。这种思想方法，在后续的学习中将会进一步深化。如极

4、限定义中的V-3形式，微积分严格化中的语言。用“任意”应对“无穷”，是数学理性思维的一种表现。把握无限多个对象的共性，选定其中的一个代表“任意”，通过对这个代表的研判，收到遍及全体——“无穷”的效果。这种富有哲理性的数学思维，在中学数学中出现，可谓“别有用心”。2借“传递”到达“永远”面对与正自然数有关的一组数学对象，对其中的有限个对象进行运作是徒劳的，因为自然数是无限的，永远也数不完。如何挣脱“无限”的桎梏？数学家通过“传递”这一行为动词，以初始对象为基点，借助相邻两者之间的辗转递送，以到达“不尽长江滚滚来”的“永远”。例3数列作为定义在自然数集上的一

5、种特殊函数，常借用“传递”的方法来实现后面的“永远”。例5数学归纳法是用来证明与自然数相关的命题的，其证明格式中的第2步，就是寻求相邻两个命题之间是否具有“真”或“假”的传递性。若具备传递条件，再结合第1步的奠基（递推基础），就能升华为这无限多个命题均为真的证明结论。数学归纳法是借“传递”到达“永远”的最典型的证明案例。借“传递”到达“永远”的数学方法，基于皮亚诺(Peano)的自然数归纳公理。这种通过相邻两项的传递性来到达“永远”的数学思想在我国自古有之，老子的《道德经》说得明白：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”好一个“生”字，绝对比皮亚诺自然数

6、公理的“后继”两字来得更加形象生动，你能说这不是中国版的自然数公理吗？借“传递”到达“永远”的数学方法，是归纳和演绎两种数学思维的集中体现。首先，方法得保证相邻两项之间能够进行“传递”，这种按形式逻辑的方法推演反映的是演绎法的本质特征；其次，是“传递”沟通了有限与无限之间的桥梁，因为跨越了“无限”，也就保证了归纳的“完全性”。借“传递”到达“永远”，是归纳与演绎的完美结合，也是应对与自然数有关的“无限’’问题的首选策略。3以“有限”承载“无限”有限建立在无限的基础之上，无限存在于有限的认识之中；有限可以延拓成无限，无限常通过有限来表现。数学中有限与无限的

7、关系体现了哲学中的辩证关系。在中学数学中，“有限”因其富含于无限之中而表现出更加实在的含义，备受中学生的欢迎。将无限转化为有限，以“有限”承载“无限”，是解决无限问题的常用思想。3.1以“有限”承载“无限”之“基底法”选定少量（有限个）对象作为基底，再用基底统辖整个系统（无限个），这种以“有限”承载“无限’’的“基底法”在中学数学中被实实在在地应用到各个分支中。例6平面向量的基本定理告诉我们：只要选定平面内两个不共线的向量e1、e2，那么对于这个平面内的任意向量a，都可以唯一表示。这个把平面内方向各异、长短不一的无限多个向量，归依到一组基底（e1，e2)

8、的转化方法，就是我们所说的以“有限”承载“无限”的“基底法”。它是研究几何问题的