中学数学研究-陕070817辩证思维与数学教学

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1、资料编号14351数学的二重性杨之发表在陕070817上属于思维、方法、辩证题为《辩证思维与数学教学》作为一线数学教师和教研员，近年借搞数学教学改革实验之机，观摩了数百节数学课，观察了数以千计的学生学习数学的情况，并与很多师生进行交谈，结果有一种强烈的感觉：师生一天到晚在题海中挣扎，和“知识点”纠缠，对“解题”之外的一切，似乎都很冷漠，这难道就是“正常”的情况吗？难道“解题”就是数学学习的一切吗？难道这样的挣扎和纠缠就真的能大幅度提高学生的解题能力吗？事实并非如此！我们曾与一些数学高材生交谈过，发现他们对数学有整体的认识，对概念有深人的理解，当谈到用“转化法”解题时

2、，他们认为，由于概念间、命题间有一定的联系，从而可以转化.转化前后的题目，有变有不变，变的是题目的形式、难易程度、我们“会解”的情况，不变的是解.他们知道猜想和证明的区别，知道波利亚的解题方法，对解题后的“回顾”很在乎；他们“语文”学得很好，“题意”对他们来说，不存在理解上的拦路虎，他们的数学语言用得规范、熟练，会做的一定能简练完整的表述，会的保证不错，他们面对“难”题，沉着冷静，心态平和而信心十足，往往能超常发挥……显然，这些功夫还不是“挣扎”和“纠缠”能获得的.有的在“解题”之外，有的甚至在数学之外.那么，我们做教师的，怎样能够引导和培养出这样的学生呢？通过和很

3、多“特别能教学的”教师的交谈以及多年的研究和思考，我们终于认识到：教师对数学本身，要有一个辩证的认识，对教学中的问题，要有辩证的态度.而这两点的缺乏，往往就是苦教苦学，师生负担重而效益低的原因.1对数学整体的辩证认识我们问过许多教师：数学是什么，有什么特点？他们往往笑而不答，或是“说不好”.于是我常常讲这样一个故事：有一位教师上几何课，说：“今天我们来研究‘三角形内角和定理’”……话音未落，一个叫子路的学生举手，站起来对老师说：“三角形三个内角的和是180°，我们已经学过了.不信您就画一个三角形，用量角器量一量加起来，或把一个硬纸板的三角形三个角剪开拼一拼，就会知道

4、的.”这个半路“杀”出来的程咬金，把老师挂在了黑板上.我问在座的老师们，怎样解这个围呢？很遗憾，没有一次得到“着边际”的答案.为什么会这样呢？与他们的数学观，即对数学的看法有关，而其中同数学教学最为密切的有：数学是绝对真理还是相对真理;数学是演绎科学还是归纳科学;是实验的、经验的科学，还是理论的思维的科学；它的本质是什么、特点是什么、价值或功能是什么；等等.对这些问题，人们曾一度陷人极端，进行过多次的公婆之争，如有人认为数学是绝对真理，是真理的典范，但被罗巴切夫斯基几何的发现所否；有人认为数学是纯演绎的科学，另一些人则认为它是归纳的科学，只需通过活动、实验、观察获得

5、结论就可以了，推理证明是不必要的.因为数学的价值不过是实用，在当前，就是中高考的工具.不同的认识，就会有不同的做法；人们在教学中的态度，顽强地反映着他的数学观，像颜回一样的终日不言，还是如子路那样多疑多问，并不是问题的关键.20世纪数学的迅猛发展，数学哲学由“基础”研究走向现实，发现对数学的种种极端看法都是不正确的.数学发展本身粉碎了种种极端论调：你说欧氏几何是绝对真理吗，那么罗氏几何呢？三角形内角和总是180°吗？欧氏几何说：是的，罗氏几何却回答：非也！1+1=2是绝对真理吗？在二进制下，1+1=10,在集合中AUA=A(U相当于“+”).你说数学是纯演绎的科学吗

6、？那么演绎的出发点（公理）和遵循的形式逻辑，却是归纳得到的；你说数学是实验的或纯归纳的科学吗？“两条直线平行”怎样通过“实验”去验证？在有的归纳和猜想获得正确结论的同时，也经常得到错误的结果，纯粹的归纳、活动、实验肯定成就不了数学.波利亚首先指出数学的二重性：既是归纳的、实验的科学，又是演绎的、证明的科学，猜想和证明各司其职，各挡一面.同样地，数学既是相对真理，又是绝对真理，三角形内角和为180°，从数学整体看，是相对的真理，但在它适用的范围内，在欧氏平面几何中，却是绝对真理，数学在相对正确的道路上阔步向前发展，却不断迸发出绝对真理的光芒，数学确实有它的可以实用（包

7、括中高考、竞赛）的一面，但是单纯以“实用”的眼光去看数学，显然是片面的、错误的，连人类的衣、食、住、行这些非常“实用”的事情，都逐渐賦予了丰富的文化娱乐价值，何况是本来作为人类核心文化的数学！可见，对数学这种“二重性”的认识，绝非无端的折衷，而是一种完全符合数学本性的、全面的、辩证的认识.2对数学知识的辩证思考在日常的数学教学中，往往感到许多数学知识、方法的教学不深不透，概念的内涵、外延全清楚了，仍觉得有知无识;方法呢？有的是懂而不会，有的则会而不懂，原因呢？却又说不清道不明.这就涉及数学知识的二重性，也就是它的矛盾的或辩证的属性.概念是数学的细胞，命题是数学的