中学数学研究-陕070817辩证思维与数学教学

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1、资料编号14351数学的二重性杨之发表在陕070817上属于思维、方法、辩证题为《辩证思维与数学教学》作为一线数学教师和教研员,近年借搞数学教学改革实验之机,观摩了数百节数学课,观察了数以千计的学生学习数学的情况,并与很多师生进行交谈,结果有一种强烈的感觉:师生一天到晚在题海中挣扎,和“知识点”纠缠,对“解题”之外的一切,似乎都很冷漠,这难道就是“正常”的情况吗?难道“解题”就是数学学习的一切吗?难道这样的挣扎和纠缠就真的能大幅度提高学生的解题能力吗?事实并非如此!我们曾与一些数学高材生交谈过,发现他们对数学有整体的认识,对概念有深人的理解,当谈到用“转化法”解题时

2、,他们认为,由于概念间、命题间有一定的联系,从而可以转化.转化前后的题目,有变有不变,变的是题目的形式、难易程度、我们“会解”的情况,不变的是解.他们知道猜想和证明的区别,知道波利亚的解题方法,对解题后的“回顾”很在乎;他们“语文”学得很好,“题意”对他们来说,不存在理解上的拦路虎,他们的数学语言用得规范、熟练,会做的一定能简练完整的表述,会的保证不错,他们面对“难”题,沉着冷静,心态平和而信心十足,往往能超常发挥……显然,这些功夫还不是“挣扎”和“纠缠”能获得的.有的在“解题”之外,有的甚至在数学之外.那么,我们做教师的,怎样能够引导和培养出这样的学生呢?通过和很

3、多“特别能教学的”教师的交谈以及多年的研究和思考,我们终于认识到:教师对数学本身,要有一个辩证的认识,对教学中的问题,要有辩证的态度.而这两点的缺乏,往往就是苦教苦学,师生负担重而效益低的原因.1对数学整体的辩证认识我们问过许多教师:数学是什么,有什么特点?他们往往笑而不答,或是“说不好”.于是我常常讲这样一个故事:有一位教师上几何课,说:“今天我们来研究‘三角形内角和定理’”……话音未落,一个叫子路的学生举手,站起来对老师说:“三角形三个内角的和是180°,我们已经学过了.不信您就画一个三角形,用量角器量一量加起来,或把一个硬纸板的三角形三个角剪开拼一拼,就会知道

4、的.”这个半路“杀”出来的程咬金,把老师挂在了黑板上.我问在座的老师们,怎样解这个围呢?很遗憾,没有一次得到“着边际”的答案.为什么会这样呢?与他们的数学观,即对数学的看法有关,而其中同数学教学最为密切的有:数学是绝对真理还是相对真理;数学是演绎科学还是归纳科学;是实验的、经验的科学,还是理论的思维的科学;它的本质是什么、特点是什么、价值或功能是什么;等等.对这些问题,人们曾一度陷人极端,进行过多次的公婆之争,如有人认为数学是绝对真理,是真理的典范,但被罗巴切夫斯基几何的发现所否;有人认为数学是纯演绎的科学,另一些人则认为它是归纳的科学,只需通过活动、实验、观察获得

5、结论就可以了,推理证明是不必要的.因为数学的价值不过是实用,在当前,就是中高考的工具.不同的认识,就会有不同的做法;人们在教学中的态度,顽强地反映着他的数学观,像颜回一样的终日不言,还是如子路那样多疑多问,并不是问题的关键.20世纪数学的迅猛发展,数学哲学由“基础”研究走向现实,发现对数学的种种极端看法都是不正确的.数学发展本身粉碎了种种极端论调:你说欧氏几何是绝对真理吗,那么罗氏几何呢?三角形内角和总是180°吗?欧氏几何说:是的,罗氏几何却回答:非也!1+1=2是绝对真理吗?在二进制下,1+1=10,在集合中AUA=A(U相当于“+”).你说数学是纯演绎的科学吗

6、?那么演绎的出发点(公理)和遵循的形式逻辑,却是归纳得到的;你说数学是实验的或纯归纳的科学吗?“两条直线平行”怎样通过“实验”去验证?在有的归纳和猜想获得正确结论的同时,也经常得到错误的结果,纯粹的归纳、活动、实验肯定成就不了数学.波利亚首先指出数学的二重性:既是归纳的、实验的科学,又是演绎的、证明的科学,猜想和证明各司其职,各挡一面.同样地,数学既是相对真理,又是绝对真理,三角形内角和为180°,从数学整体看,是相对的真理,但在它适用的范围内,在欧氏平面几何中,却是绝对真理,数学在相对正确的道路上阔步向前发展,却不断迸发出绝对真理的光芒,数学确实有它的可以实用(包

7、括中高考、竞赛)的一面,但是单纯以“实用”的眼光去看数学,显然是片面的、错误的,连人类的衣、食、住、行这些非常“实用”的事情,都逐渐賦予了丰富的文化娱乐价值,何况是本来作为人类核心文化的数学!可见,对数学这种“二重性”的认识,绝非无端的折衷,而是一种完全符合数学本性的、全面的、辩证的认识.2对数学知识的辩证思考在日常的数学教学中,往往感到许多数学知识、方法的教学不深不透,概念的内涵、外延全清楚了,仍觉得有知无识;方法呢?有的是懂而不会,有的则会而不懂,原因呢?却又说不清道不明.这就涉及数学知识的二重性,也就是它的矛盾的或辩证的属性.概念是数学的细胞,命题是数学的

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