中学数学研究-陕130128计数原理：教材比较与教学建议

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1、资料编号14595排列组合计数原理廖应春发表在陕130128上属于教法、辅导、教材题为《计数原理：教材比较与教学建议》廖应春（重庆市求精中学)所谓“计数”亦称“数数（ShuShu)”，指数事物个数的过程.无论远古时代人类社会的结绳计数、春秋时代的“算筹”以及近代的计算机，还是从牙牙学语的幼儿开始，小学、中学、大学直到人的一生.都离不开计数.人们从长期的生产、生活实践中总结出了计数的两个基本原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理.这两个原理被安排在“普通高中课程标准实验教科书.数学”（人民教育出版社，以

2、下简称“新课标教材”）中《选修2-3》的第一章“计数原理”第一节：“1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理而在“全日制普通高级中学教科书《数学》”（人民教育出版社，以下简称“大纲版教材”）中被列为（必修）第二册（下A)第十章“排列、组合和二项式定理”第一节：“10.1分类计数原理和分步计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法.返璞归真地看两个计数原理，实际上是加法运算与乘法运算的推广，是解决计数问题的理论基础.在高中阶段，本节内容相对独立，自成体系，但其思维方法新颖、

3、独特，与学生以往所学的数学知识有很大区别，对培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力.提高学生分析和解决问题的能力大有帮助.两个“汁数原理”在数学学习中占有重要地位.其作用并不只限于推导排列数、组合数公式，重要的是它包含了分类、分步的思想方法.这两种思想方法贯穿学生整个高中学习过程.不仅如此，人们在日常生活中也常常使用这两种思想方法.当人们面对一个较复杂的问题时，往往先将它分解为若干个简单问题，这就要用到分类思想.在解决这些问题时要制定恰.当的计划与步骤，这就要用到分步思想.因此，本节的学习，对学生今后的生

4、活、工作有一定的帮助.本章在两个“计数原理”的基础上，研究排列与组合，用归纳法导出排列数公式与组合数公式.得出组合数的两个性质.从而简化组合数的计算.为推导二项式定理做好铺垫，同时为进一步学习概率统计知识打好了必要的基础.由此可见两个“计数原理”的重要地位.新课标教材相对于大纲版教材而言.在这两个原理的编写上存在较大的差异，更突出了这两个原理的重要地位.为更好地理解新课标的理念.更好地用好新课标教材，本文结合自己的教学谈谈粗浅的认识.1新课标教材内容的编排计数原理作为排列、组合、二项式定理的基础知识，新

5、课标教材保持了大纲版教材的特点，将它们综合编排在一起，构成一个独立的章节，既体现了这部分内容的整体性，又体现了这部分知识的内在联系.但是，新课标教材把本章编排在《选修2-3》中.教学时间却安排在《数学3》第三章"概率”之后.这必定会给概率教学带来一定的影响.由于学生缺少了计数原理以及“分类”“分步”的思想，因此概率中的古典概型只能用“列举法”求解.用“列举法”求概率，学生在初三上学期已经学习过，并且经过相应的训练.而这部分内容在新课标教材中并没有本质上的升华，只是简单重复初中内容.且教学实践表明，学生不

6、需教师指导就能完成相关知识的学习.但是，在对《数学3》第122页例5(某种饮料每箱装12听.如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？）教学时，教材又出现：从12听饮料中任选2听，试验的所有结果有12×11+2二66(种）.学生对此难以理解.显然.这是“分步乘法计数原理”的简单应用.而面对学生，教师却无法用“计数原理”解释，还只得用“列举法”加以说明，这显得多么不和谐呀！若将此例题条件“有2听不合格”变为“有3听不合格”，像这种常规的变式教学，用“列举法”就更显得力

7、不从心，只得选择放弃！学概率，连最简单的、最常规的题目都不能讲，真有“如鲠在咽，不吐不快”的感觉！反观大纲版教材，把这一章放在第二册（下）的第十章，《概率》之前，为概率学习提供了强有力的工具.这样的编排符合学生的认知规律，学生容易学、教师容易教，更具有科学性.另一方面，对“两个计数原理”基础知识的学习，新课标教材仅要求理科学生选学，文科学生不学，这对文科学生来说不公平，比他们失去了一次数学思维训练的机会，而中学阶段又无其他数学训练可弥补，实在可惜！因此，笔者认为，新课标教材对“两个计数原理”章节的安排与

8、要求，有值得探讨的地方.建议将“新课标教材”《数学3》第5章“概率”移到《选修2-3》第一章“计数原理”之后，“随机变量及其分布”之前，同时对文科生也增加“计数原理”的学习，并将课程目标中的要求做适当调整.2新课标教材编写特点分析新课标教材与大纲版教材相比，在对“两个计数原理”章节的编排上发生了较大的变化，具有以下优点：(1)名称突出了算法.大纲版教材称为“分类计数原理和分步计数原理”，而新课标教材更改为“分类加法计数原理和分步乘法计数原理