常微分方程讲义(九).doc

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1、常微分方程讲义(九)关于“差分方程”——“差分”与“微分”的差异:的离散性与连续性什么时候需要“差分”?当我们面对着固定了“期”的长度后的离散型随机变量时,怎么处理“差分”与“微分”联系的紧密:高频数据的获取差分方程的定义差分方程的阶阶:期时滞的相关性回顾两类最常见的递推数列:等比数列:2,4,8,16,32,64,……,且,一般公式:,。是公比。等差数列:2,4,6,8,10,12,……,且,一般公式:,。是公差。一阶线性齐次差分方程:一阶线性非齐次差分方程:一阶非线性差分方程:二阶线性齐次差分方程:二阶线性非齐次差分方程:差分方程的特点:迭代性(递推性)解差分方程也有特征方程与

2、待定系数法。由于不是常微分方程课程的主要内容,不赘述,有兴趣的同学请参阅相关文献。迭代法:解差分方程的最原始、然而有时却可能是最有效的方法。关于“一阶线性非齐次差分方程:”的解法蛛网模型(线性差分模型)需求由本期价格决定,而本期价格决定下期的供给。,其中令,则结论分析:长期价格会否趋于定值?(即当时,会否存在极限?)是振荡图形当,衰减振荡,蛛网图形:当,循环振荡,蛛网图形:当,放大振荡,蛛网图形:将抽象为振子运动,则其时间路径为收敛,图形:简谐,图形:发散,图形:市场混沌的外部约束与金融监管的发展创新(非线性差分模型)何谓混沌:中文的语意、数学的定义Li和Yorke(1975)的定

3、义:设I为实数内的一个连续自映射,如果存在不可数集合S属于I且满足a)S不包含周期点;b)任给S中的点X1不等于X2,有和;c)任给S内的点X与I内的周期点P,有,则称该自映射是混沌的。DevaneyRL(1989)的定义:设X是一个度量空间,一个连续的自映射称为X上的混沌,如果它满足a)拓扑传递;b)周期点在X中稠密;c)具有对初始条件的敏感依赖性。、通俗的表达为何在对现实情况进行分析时,要引入混沌理论?牛顿力学→拉普拉斯的机械决定论→混沌理论天气预报长期预报的不可能性:股市走势能否预测?金融监管的规制效果:基于确定性模型的局限性(一)的函数变化特性与图像:其中,。(变量在另一个

4、变量引导之下的变化特性)表1:u=40X0=0.1X0=0.1000000110.36000000000.360000003220.92160000000.921600035830.28901376000.2890136391………100.14783655990.1478244449………500.27756908100.4350573997510.80209438620.9831298346520.63495592740.0663422515………表2:不同的u导致的分岔情况分岔情况分岔值1-232-43.4494877434-83.5440903598-163.564407266

5、16-323.56875942032-643.56969161064-1283.569891259128-2563.569934019………………周期解-混沌3.569945672(二)模拟金融监管:其中,。(市场秩序在监管者努力的引导之下的变化特性)第一步:量化;第二步:量化;“市场有序”=“”第三步:模拟。结论:当时,有1个稳定点=0,不属于区间,不符合要求;当时,有1个稳定点,有部分取值不落在区间内,不符合要求;当时,有2个稳定点,均落在区间内,符合要求;当时,有4个稳定点,,,均落在区间内,符合要求;当时,有稳定点不落在区间内,不符合要求;当时,进入混沌,与监管目标相悖,不

6、予考虑。因此,只有区间符合要求,它即监管的合理区间,当调控参数u在该区间内任取一值时,都能保证任何初值的市场秩序经过多次迭代后步向有序。简而言之,它从理论上预言了这样的一种可能性:任何市场秩序,都能通过监管的干预,最终实现有序。以上差分方程为金融监管提供了新思路:前瞻性外生性审慎性时滞性从“机械决定论”的一一对应:,过渡到“混沌论”的迭代对应:

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