常微分方程讲义（十）.doc

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1、常微分方程讲义（十）定性解；近似系统；奇点与极限环的稳定性：二维自治系统例：法1，，圆柱螺线法2，，园二维自治系统的积分曲线、相平面，轨线，闭轨，开轨，奇点轨线的均衡：奇点与闭轨近似系统：线性非齐次微分方程组线性齐次微分方程组分析方程组的奇点的性质，用特征方程：特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，（一），鞍点，图像（二），稳定结点，图像（三），不稳定结点，图像第二种情况：相异复根，，（一），中心，图像（二），稳定焦点，图像（三），不稳定焦点，图像第三种情况：相同实根，（一）同时为01、当时，不稳定临界结点，图像2、当时，稳定临界结点，图像（二）

2、不同时为01、当时，不稳定退化结点，图像2、当时，稳定退化结点，图像例：求各系统的奇点类型奇点在经济学中的应用我们事实上在讨论两个问题：1、在一个经济体系中，若存在着稳定状态（奇点），那么随着时间t的变化，一个非均衡的动点(x,y)是否会趋向于稳态？2、若非均衡动点会趋向于稳态，那么它趋向于稳态的过程（时间路径）是什么样子？Perron定理：自治系统与近似系统的奇点性质一致意味着要考察的奇点性质，只需考察它的近似系统的奇点性质即可。例：解：由得到奇点为P(0,0)，Q(0,-1)，R(-2,-1)，S(-2,-2)。近似系统为所以系数矩阵当P（x=0,y=0）时，由，得到，不稳定焦点

3、；当Q……，鞍点；当R……，鞍点；当S……，稳定焦点。但是，有时候轨线不一定会稳定于特定的点，这时候就必须分析自治系统极限环的性质极限环的稳定性共有四种情况：内侧稳定，图像内侧不稳定，图像外侧稳定，图像外侧不稳定，图像例：解：引入极坐标应用二元一次方程组的消元法，可以得到：具体推导是这样的：由，利用分离变量的方法推出初值条件：假设当时，有与（事实上就是设了个一般值而以）当时，是闭轨；因为，所以事实上有个临界点，令，可以推出，此时的可取正也可取负，意味着三维坐标中的纵轴可取正方向也可取负方向。于是得到：当时，随着，有；极限环外侧不稳定，图像；当时，随着，有；极限环内侧不稳定，图像。为什

4、么该题没有考虑的变化？若需严格的推导出的变化，过程应该是这样：把初值条件代入，得到，于是可以得到变量相对于的函数表达的一般式为。但是以上过程，个人窃以为没啥含义。因为从宏观上看，作为极坐标当中的极角变化，在没有间断点的前提下，终究是从0到360度变化的。过了360度，可以把极角看成为一个周期函数，那还是在0到360度之间变化的，只不过其变化的幅度与频率发生了改变而以。例如，本题中，是与变量挂勾的，当变化后，确实会发生改变，但其从0变化到360度的宏观特性没有发生变化。所以，在极限环中一般没有考虑的变化。课后还有同学问到，同样是趋向极限环，为什么讲义中是顺时针方向，为什么不能是反时针方

5、向。当方向不同时，到底是稳定还是不稳定将会产生迥异的结果，如何理解？回答：这是由t的取值决定的以本讲义的第一个例题为例：，其解为，是一条圆柱螺线，这条圆柱螺线为什么是顺时针，而不是反时针呢，见下面的数据表。tx=-sint+costy=cost+sint-10-1.38309-0.29505-9-0.49901-1.32325-80.843858-1.13486-71.4108890.096916-60.6807551.239586-5-0.675261.242586-4-1.410450.103159-3-0.84887-1.13111-20.493151-1.32544-11.3

6、81773-0.301170111-0.301171.3817732-1.325440.4931513-1.13111-0.8488740.103159-1.4104551.242586-0.6752661.2395860.68075570.0969161.4108898-1.134860.8438589-1.32325-0.4990110-0.29505-1.38309该数据表是我利用Excel做的一个简单模拟，可以看到一定的趋势。取C1＝C2＝1，而t的取值是从－10到10，每次递增1个单位，随着t的变化，我们综合x与y的变化，会发现该螺线确实是顺时针方向的。这个模拟做得非常粗造

7、，若能把步长设为0.0001，做个20万次的计算，肯定能精确的找出当t变化到多少时，对应的x与y会循环出现等于前周期值。当然也可以将三维坐标点在Matlab中进行实现，或者直接将函数表达式输入软件，那样看到的立体图就更加直观了。书上其他的极限环的性质都是对的，若是大家有兴趣可以去验证一下。例：（本例的具体解答详见《常微分方程》教材P291）解：引入极坐标，稳定的极限环一个好玩的讨论：战争模型正规军对战游击队对战游击队与正规军对战假设没有非正常减员和补充增援