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时间:2019-05-02
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1、常微分方程讲义(三)常微分方程的初等积分解法:1、可分离变量方程2、齐次方程(一般含有的项),令,可消去右边的则例:例:例:例:例:3、一阶线性非齐次方程常数变易法或例:例:例:例:4、贝努利方程令,则,代入得:可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例:例:例:例:例:当为常数时,可直接运用常数变易法,该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例5、全微分方程第一种情况:若则或方程解为,其中在定义域内任取例:、例:例:例:例:例:例:第二种情况:若则找积分因子1、只存在与有关的积分因子的充要条件是,积分因子2、只存在与有关的积分因子的充要条件是,积分因子例:例
2、:例:*微分方程解法的不确定性与灵活性:6、可降阶的二阶微分方程第一类:例:第二类:,令例:例:例:第三类:,令例:例:例:求方程的在点与直线相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性:例:,令例:,令微分方程的近似解:Picca序列给定微分方程,则有在处的第1次近似:在处的第2次近似:…………在处的第次近似:例:求微分方程,当时,y=?精确方法Picca近似:精度与误差例:求微分方程的Picca逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性:定理1:设函数在矩形区域上连续;且对R上任意两点,满足Lipschitz条件:。其中L是Lipschitz常数,令,则
3、在区间上,原方程的解存在且唯一。定理2:设函数在G上连续,且在G内满足局部的Lipschitz条件,则对G内任意一点,存在一个小区间,原方程的解存在且唯一。定理3:设函数在G上连续,在G内存在并且有界或连续,则对G内任意一点,存在一个小区间,原方程的解存在且唯一。定理4:Picca序列的误差
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