常微分方程讲义（四）.doc

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1、常微分方程讲义（四）常微分方程解法的应用（初等积分法）例：资产定价方法与博弈主观定价方法：NPV、CAPM、APT、BS客观定价方法：双边或多边定价客观定价的假设前提一件资产对参与买卖的各位局中人来说，有不同的效用。对卖方而言，所谓的公允价格就是对该商品评价最高的买者所给出的价格。价格“挖掘”：博弈中文解释：下棋为弈，多人多步骤为博经济学解释：研究决策主体相互作用时的决策的科学博弈的前提：是存在话语权与决策权博弈论：研究决策主体相互作用时的决策的科学博弈的前提是存在话语权与决策权博弈论的产生历史从数学到经济学的过渡博弈论在经济

2、学中的地位高级微观经济学的重要组成部分博弈论与诺贝尔经济学奖1994年，约翰.纳什、约翰.海萨尼、莱因哈德.泽尔腾1996年，詹姆斯.默里斯、威廉.维克利2001年，乔治.阿克尔洛夫、迈克尔.斯彭斯、约瑟夫.斯蒂格利茨2005年，罗伯特.奥曼（以色列），托马斯.谢林2007年，明尼苏达大学的赫维茨、芝加哥大学的马斯金，普林斯顿的罗杰.B.迈尔森博弈论的分类完全信息的静态博弈完全信息的动态博弈不完全信息的静态博弈不完全信息的动态博奕推荐书目张维迎《博弈论与信息经济学》，弗得博格梯诺尔《博弈论》，罗杰.B.迈尔森《博弈论》，库恩《

3、博弈论经典》例：拍卖中的微分方程关于拍卖，我们了解多少？一件古董，一位美女，一个拍卖师，一把锤子，一群竞买者，举牌出价在拍卖背后，有些容易忽视的东西：选取什么样的竞价方式打包还是分售确定资产的起拍价与保留价怎样降低资产的交易成本如何防止合谋操纵带来的危害如何激发竞买者的最大兴趣如何让资产的所有者得的更多一点机制设计一对一：国有不良资产处置，买衣服，买黄瓜；一对多：古董，郁金香，工程招标；多对多：国债承销，股票买卖，电力市场，3G牌照拍卖，媒体广告插播权的竞价分配等。与“一对一”的双边竞价不同，当资产交易中的竞买者多于两人以上时

4、即“一对多”的时候，就必须引入主持人了，在主持人的引导之下通常存在着四种常见的多边竞价方式。第一种：英式拍卖（EnglishAuction或AscendingAuction）。它设置拍卖标的物的一个起价，然后由各竞拍者竞相加价报价，报价最高的竞拍者获得标的物并按其本人的报价进行支付。第二种：荷式拍卖（DutchAuction或DescendingAuction）。拍卖师首先报出标的物的一个非常高的价格，当无人接受时，拍卖师逐渐降低报价，在向下报价的过程中，第一个举牌表示接受的竞拍者获得标的物，并支付该价格。第三种：一价密封拍卖

5、（First-priceSealed-bidAuction）。针对标的物，众多竞拍者写下各自的出价意愿，密封起来不让他人知道，交给拍卖师开启确认后，出价最高的竞拍者获得标的物，并支付其本人写下的价格。第四种：二价密封拍卖（Second-priceSealed-bidAuction）。针对标的物，众多竞拍者写下各自的出价意愿，密封起来不让他人知道，交给拍卖师开启确认后，出价最高的竞拍者获得标的物，但与一价密封拍卖不同的是，竞拍者支付的不是自己写下的价格，而是出价为第二高价格的竞拍者的出价。还有一些其他的拍卖规则与方式，如“三价密

6、封拍卖”之类。但那都是理论学家们的假设模型，在实际中罕见。以上四种拍卖方式尽管形式不同，但相互之间联系很紧密。如“英式拍卖”与“二价密封拍卖”的解空间相同，而“荷式拍卖”与“一价密封拍卖”的解空间一致。大多数现实生活中的拍卖模式都可归结为以上四种传统的拍卖方式。例：价近者得的工程招标Vickrey(1961)讨论了“一价密封拍卖”的解Vickrey,W.1961,Counterspeculation,Auctions,andCompetitiveSealedTenders,JournalofFinance,16。。假设市场中有

7、两位竞标者，，他们公开竞买同一件物品。令是竞标者的出价，为待拍卖的物品对竞标者的效用。的具体数值只有知道，且服从于区间［0，1］上的均匀分布，。假设是的单调增函数。竞标者的收益状况如下：此处竞标者的效用函数不仅是本身禀赋的函数本身禀赋包括竞标者本人的出价，以及待拍卖物品对竞标者本人的效用。，而且还是其他竞标者出价的函数。假设最终胜出的竞标者的出价是，标的物对他的效用是，则竞标成功者的效用函数的数学期望是：后两项的值均为0。而此处用到了一个概率的性质：若，那么对于所有的，有。竞标者的“追求”就是最大化。最优化的一阶条件是：为求该

8、最大值，对其求的一阶导数，可得：由于在均衡时，最优解，所以推出：解出此常微分方程形如的一阶线性非齐次常微分方程，可套用公式：求解，或本微分方程亦可使用齐次微分方程的方法：令而解之，初始条件为。，得到结果是：这说明当经济中只有两位竞标者时，如果存在均衡，拍卖品将归出价最高的竞标