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时间:2019-05-02
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1、常微分方程讲义(六)线性微分方程的解法:常系数线性微分方程(特征方程)变系数线性微分方程(欧拉方程)N阶线性齐次微分方程:(A)N阶线性非齐次微分方程:(B)特解的初始条件限制:引入记号:;:N阶线性微分算子A式可简写为,B式可简写为,即可写成,即可写成若是A或B的解,则也是A或B的解定理1:与的解存在定理2:有n个线性无关解定理3:设是的n个线性无关解,则的通解是定理4:设是的通解,而是的特解,则是的通解定理4揭示了线性微分方程与线性微分方程组的解题三部曲:第一步:求“齐次”的通解三部曲第二步:求“非齐次”的特解第三步:相加,得到
2、“非齐次”的通解常系数线性微分方程的求解(特征方程的方法)————三部曲之一:求“齐次”的通解因此,求“齐次”通解的关键是求,引入特征方程:特征方程的解分成四种情况:为书写方便,仅仅考虑特征方程只有2个解或2组解。更多解的情况,都在例题中反映出来,但原理是一样的。1、单的实根,则的通解为2、单的复根,则的通解为3、重的实根,则的通解为4、重的复根,则的解例:例:例:例:例:已知常系数线性齐次微分方程的特征方程是,求该微分方程的通解例:例:例:例:例:与的不同三部曲之二:求“非齐次”的特解三部曲之三:相加,得到“非齐次”的通解1、对而
3、言,若是特征方程的重根,则特解形状为。其中是与对应的同次的完整的多项式。2、对而言,若是特征方程的重根,则特解形状为。其中、分别是与、对应的同次的完整的多项式。注意方程的右边经常只会出现关于或的“半边项”,而不常见或的“完整项”例:例:例:例:例:例:例:若是的解,而是的解,则是的解。例:例:3、对而言:即:,(其中是常数)当时,则当,时,则当,,时,则其余类推。例:例:例:4、对而言,若与是的线性无关的两个解,则特解为,其中,而;其中任取。例:
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