常微分方程讲义（六）.doc

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1、常微分方程讲义（六）线性微分方程的解法：常系数线性微分方程（特征方程）变系数线性微分方程（欧拉方程）N阶线性齐次微分方程：（A）N阶线性非齐次微分方程：（B）特解的初始条件限制：引入记号：；：N阶线性微分算子A式可简写为，B式可简写为，即可写成，即可写成若是A或B的解，则也是A或B的解定理1：与的解存在定理2：有n个线性无关解定理3：设是的n个线性无关解，则的通解是定理4：设是的通解，而是的特解，则是的通解定理4揭示了线性微分方程与线性微分方程组的解题三部曲：第一步：求“齐次”的通解三部曲第二步：求“非齐次”的特解第三步：相加，得到

2、“非齐次”的通解常系数线性微分方程的求解（特征方程的方法）————三部曲之一：求“齐次”的通解因此，求“齐次”通解的关键是求，引入特征方程：特征方程的解分成四种情况：为书写方便，仅仅考虑特征方程只有2个解或2组解。更多解的情况，都在例题中反映出来，但原理是一样的。1、单的实根，则的通解为2、单的复根，则的通解为3、重的实根，则的通解为4、重的复根，则的解例：例：例：例：例：已知常系数线性齐次微分方程的特征方程是，求该微分方程的通解例：例：例：例：例：与的不同三部曲之二：求“非齐次”的特解三部曲之三：相加，得到“非齐次”的通解1、对而

3、言，若是特征方程的重根，则特解形状为。其中是与对应的同次的完整的多项式。2、对而言，若是特征方程的重根，则特解形状为。其中、分别是与、对应的同次的完整的多项式。注意方程的右边经常只会出现关于或的“半边项”，而不常见或的“完整项”例：例：例：例：例：例：例：若是的解，而是的解，则是的解。例：例：3、对而言：即：，（其中是常数）当时，则当，时，则当，，时，则其余类推。例：例：例：4、对而言，若与是的线性无关的两个解，则特解为，其中，而；其中任取。例：