4.3 平面坐标系中几种常见变换

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1、实用标准文案4.3　平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移．2．平移变换公式设P(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点P′(x′，y′)，则(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)或1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】　步骤：(1)设平移前曲线上一点

2、P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P′的坐标为(x′，y′)；(2)写出变换公式并转化为文档实用标准文案(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；(4)按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程．2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】　其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用　点M(8

3、，－10)按a平移后的对应点M′的坐标为(－7,4)，求a.【自主解答】　由平移公式得解得即a＝(－15,14)．把点A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求对应点A′的坐标(x′，y′)．【解】　由平移公式得即对应点A′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用　求双曲线4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】　把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】　将方程按x，y分别配方成4(x－2)2－9(y－3)2＝－36，文档实用标准文案即－＝1.令方程

4、可化为－＝1.双曲线－＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，)和(0，－)，对称轴方程为x′＝0，y′＝0，准线方程为y′＝±，渐近线方程为±＝0.根据公式可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋)和(2,3－)，对称轴方程为x＝2，y＝3，准线方程为y＝3±，渐近线方程为±＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0.几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y＝

5、x2＋4x＋7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】　(1)设抛物线y＝x2＋4x＋7的顶点O′的坐标为(h，k)，那么h＝－＝－2，k＝＝3，即这条抛物线的顶点O′的坐标为(－2,3)．(2)将抛物线y＝x2＋4x＋7平移，使点O′(－2,3)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量平移得到的，设的坐标为(m，n)，那么所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y＝x2.文档实用标准文案　(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y2＝8x按向量(2,1)平

6、移后的抛物线方程和准线方程．　(2013·无锡质检)将函数y＝2x的图象l按a＝(0,3)平移到l′，求l′的函数解析式．【命题意图】　本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】　设P(x，y)为l的任意一点，它在l′上的对应点P′(x′，y′)由平移公式得⇒将它们代入y＝2x中得到y′－3＝2x′，即函数的解析式为y＝2x＋3.1．将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A′(11,5)，则a＝________.【答案】　(4,5)2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．【答案

7、】　3x－2y＝03．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】　配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1.【答案】　(1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】　开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．文档实用标准文案【答案】　(x－3)2＝4(y－2)1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】　在曲线F上任取一点P(x

8、，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.