2、1,后的曲线方程为f(-x-y)=O.[ly=ykI名师解惑1.正弦函数,xWR的图象经过怎样的变换,变为函数y二Asin(3x+4>),x^R(其中A>0,3>0,3工1)的图象?剖析:y=sinx先按向量a=(-<1>,0)经过平移变换后变为y二sin(x+巾),再按伸缩系数k二丄向着y轴进行伸缩变换,最后按仲缩系数k二A向着x轴进行伸缩变换,得到函数y二Asin(3x+)的图彖.2.设P(x,y)是变换前图形f(x,y)=0上点的坐标,P‘(x,,『)是变换后P点对应点的坐(kx=x:f,下,p、P'点的坐标有什么关系?fy=y剖析:若已知P点坐标(x,y),则变换后
3、的对应点L的坐标为(kx,ly);反之,若已知P'的坐标为(x,,y'),则P点坐标为(-/,-/).kI讲练互动【例题1】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y二2变成直线2x‘=4,求满足图象变换的伸缩变换.[x=Ax,思路分析:利用待定系数法,设变换为彳,(其小x,u>o),可将其代入第二个方程,通过比较系数求111入,u的值.x=Ax,解:设所求的伸缩变换为,(其中X,u>0),代入方程2x‘-y‘=4,得2Xx-yyU=对=4.与x-2y=2比较,将其变成2x—4y=4,比较系数得入二1,P=4.x=x,所以伸缩变换为{,,即直线x-2y=2上所有点的横坐标不变,
4、纵坐标扩大到原来的4倍,可得到直线2x‘=4.绿色通道求满足图彖变换的伸缩变换,实际上是让我们求出其变换公式,我们将新旧坐标分清,代入对应的直线方程,然后比较系数就可得了.变式训练1,—X=X,1.(1)在平面直角坐标中,圆x2+y2=l经过伸缩变换(2后的曲线方程是什么?-y=y3丿■/X=X,(2)在平面直角坐标屮,一条曲线经过伸缩变换,后,曲线方程变为y2=2x,则原2y=yf来的曲线方程是什么?x=2"解:(1)设P(x,y)是变换前的点,P‘(x,,y,)是变换后P点的对应点,由题意,彳代入x?+y2=l中,整理得4x'2+9yz=1,B
5、J4x2+9y2=l,
6、此曲线方程表示的图形是椭圆.[x=X.(2)变换后的曲线方程为y2=2x,即y‘?二2x‘,把{,厂代入,整理得到y~x,此曲[y=yl2y线方程表示的图形是抛物线.【例题2】己知函数y=—cos2x+sinxcosx+1,xWR・22(1)当函数y取最大值时,求自变量x的集合;(2)该函数的图象可由y二sinx(xWR)的图象经过怎样的平移和仲缩变换得到?1^3思路分析:首先要把y二一cos'x+——sinxcosx+1变为y=Asin(cox+4>)的形式,再根据平移22和伸缩公式求解.解:(l)y二一cos'x+2sinxcosx+1十匕空*晅sT+l241c屈•°5=
7、—cos2x+sin2x+—1/71.5=—sin(2x+—)+—•264JIJIJI由2x+——2k兀+—解导x二kn+—,k丘乙626所以y取得最大值时,对应的x的集合为{xIx二k只+—,kez}.6jrjrjr(2)将y=sinx的图象按向量a=(,0)平移,得到y=sin(x+—)的图象;将y二sin(x+—)666按伸缩系数丄向着y轴进行伸缩变换,得到y=sin(2x+-)的图象;将y=sin(2x+-)按伸266缩系数丄向着x轴进行伸缩变换,得到y二丄sin(2x+-)的图象;将y二丄sin(2x+-)按向22626量b=(0,丄)平移,得到y=-sin(2x+
8、-)+-的图象.4264绿色通道本题主要考查三角函数的恒等变换和函数图象的变换•一般要把已知条件中的三角函数式变换为y-Asin(3x+4))+B的形式,再根据相应的平移或伸缩变换公式求解.变式训练1.曲线y二2cos3x经过怎样的伸缩变换可使方程变形为y=cosx?解:由y二2cos3x,得—=cos3x,令y'=—,x'=3x,可得y‘二cosx'・所以函数y二2cos3x22'3x=x,经过伸缩变换{1,得到函数y二cosx.—y=y〔2丿教材链接[严思考]{kx=x:,所确定的伸缩变换的意义是什