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《高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换知识导航学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.3.1平面直角坐标系中的平移变换自主整理1.在平面内,图形的变换是指_____________,它包括______________、______________、______________等.答案:图形在平面内的运动平移旋转伸缩2.在平面内,将图形F上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为图形F的______________.我们可以用一个向量a表示移动的方向和长度,所以也可以称图形F按______________平移.答案:平移向量a3.点A(x,y)按向量a=(h,k)平移所得A′的坐标为_____________
2、_,而函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移所得图象的解析式为______________.答案:A′(x+h,y+k)y-k=f(x-h)高手笔记1.平移变换仅仅改变图形的位置,而不改变它的形状和大小.2.点的平移公式的推导:设点P的坐标为(x,y),平移向量a=(h,k),平移后P点的对应点为P′(x′,y′),因为=a,则有(x′-x,y′-y)=(h,k),或表示为3.对于函数图象或平面曲线在平面直角坐标系中的平移也可以按照“正减负加”的规律来记忆.所谓“正减负加”,是指对曲线f(x,y)=0来说,若向x轴或y
3、轴的正方向平移1个单位,则把方程式中的x或y变为x-1或y-1;若向x轴或y轴的负方向平移1个单位长度,则把方程式中的x或y变为x+1或y+1(如下图所示).使用平移公式时,要注意:点的平移时,给定平移向量由旧标求新标用公式由新标求旧标用公式图形平移时,给定平移向量,由旧解析式求新解析式,用式子代入旧解析式中整理得到.由新解析式求旧解析式,用公式代入新解析式中整理得到.6名师解惑“点的平移”与“图形的平移”有什么关系?剖析:“点的平移”与“图形的平移”这两个问题既有区别又有联系,图形的平移实质上是图形上每一个点作同一方向和同样
4、长度的平行移动,用每一点的平移即能得到整个图形的平移.点的平移公式有“以旧代新”及“以新代旧”两种形式,它们的作用是一致的,都反映了图形上每一点在平移前后新、旧坐标的关系,其本质是一一对应的.解题时要把握好平移的先后顺序与平移公式中字母坐标的对应关系,公式中的x、y与原图形解析式中的字母坐标相对应,而公式中x′、y′与平移后图形解析式中的字母坐标相对应,当已知平移后图象的解析式为y=f(x)时,这里y=f(x)中的x、y应认为是公式中的x′、y′,而不是x、y.平移图形可以达到简化图形对应的函数解析式的目的,使得在图形的几何性
5、质不被改变的条件下,对应的函数解析式变得更简单些,以便于研究图形的几何性质.同时,在解析式的化简过程中,除运用待定系数法外,还可以采用配凑法,有时配凑法显得更简捷.讲练互动【例题1】将抛物线y=x2+4x+7按向量a平移,使其顶点与原点重合.(1)求向量a;(2)求平移后的抛物线的函数解析式.思路分析:先用公式法或配方法求得抛物线的顶点坐标,把抛物线的平移转化为其顶点的平移,从而求出平移向量,再利用平移公式求得平移后的抛物线的函数解析式.解:(1)设抛物线y=x2+4x+7的顶点O′(h,k),则h==-2,k==3,即抛物线
6、的顶点O′的坐标为(-2,3).设向量a的坐标为(h′,k′),依题意,由平移公式得(2)设P(x,y)是抛物线上任意一点,平移后的对应点为P′(x′,y′),由平移公式得即将其代入y=x2+4x+7,得y′+3=(x′-2)2+4(x′-2)+7,整理,得y′=x′2.故平移后抛物线的函数解析式为y=x2.6绿色通道图象平移实质上是点的平移,故用平移公式时要注意区分平移前、后点的坐标及平移向量的坐标.本例中的函数图象经过平移后在新的位置下函数解析式变得简单了,这就是平移公式的重要用途:将复杂的函数解析式化为较简单的函数解析式
7、,其基本方法有待定系数法和换元法.变式训练1.把函数y=x的图象F按a=(0,4)平移到F′,则F′的函数式为()A.y=x-4B.y=x+2C.y=4-xD.y=x+4解析:y=x的图象向上平移4个单位长度,得y=x+4.答案:D2.平移曲线y=f(x),使曲线上的点(1,1)变为(2,3),这时曲线方程为()A.y=f(x-1)+2B.y=f(x+1)+2C.y=f(x-1)-2D.y=f(x-2)+1解析:由题意知,平移向量a=(2,3)-(1,1)=(1,2),于是所以代入y=f(x)中得到y′=f(x′-1)+2.故
8、选A.答案:A3.把一个函数的图象按向量a=(,2)平移后,解析式变为y=sin(x+)+2,则原来函数的解析式为.解析:思路一:设点P(x,y)为原来的函数图象上任一点,按向量a平移后的对应点为P′(x′,y′),则P′(x′,y′)满足关系式y=sin(x+)+2,平移公