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《高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换自主整理1.一般地,由所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为k向着___________轴的伸缩变换(当k>1时,表示____________;当k<1时,表示____________),即曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的k倍.答案:y伸长压缩2.直线经过伸缩变换后是____________,圆经过伸缩变换后可能成为____________.答案:直线椭圆高手笔记1.直线经过伸缩变换后仍是直线.由此可知,在伸缩变换作用下,点的共线性质保持不变.2.圆经过伸缩变换后可能成为椭圆
2、,反之,椭圆经过伸缩变换后成为圆或椭圆.3.点(x,y)经过伸缩变换后的坐标变为(kx,ly);曲线f(x,y)=0经过伸缩变换后的曲线方程为.名师解惑1.正弦函数,x∈R的图象经过怎样的变换,变为函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,ω≠1)的图象?剖析:y=sinx先按向量a=(-φ,0)经过平移变换后变为y=sin(x+φ),再按伸缩系数k=向着y轴进行伸缩变换,最后按伸缩系数k=A向着x轴进行伸缩变换,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.2.设P(x,y)是变换前图形f(x,y)=0
3、上点的坐标,P′(x′,y′)是变换后P点对应点的坐标,在伸缩变换下,P、P′点的坐标有什么关系?剖析:若已知P点坐标(x,y),则变换后的对应点P′的坐标为(kx,ly);反之,若已知P′的坐标为(x′,y′),则P点坐标为.讲练互动【例题1】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.思路分析:利用待定系数法,设变换为(其中λ,μ>0),可将其代入第二个方程,通过比较系数求出λ,μ的值.解:设所求的伸缩变换为(其中λ,μ>0),代入方程2x′-y′=4,得2λx
4、-μy=4.与x-2y=2比较,将其变成2x-4y=4,比较系数得λ=1,μ=4.所以伸缩变换为,即直线x-2y=2上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍,可得到直线2x′-y′=4.绿色通道求满足图象变换的伸缩变换,实际上是让我们求出其变换公式,我们将新旧坐标分清,代入对应的直线方程,然后比较系数就可得了.变式训练1.(1)在平面直角坐标中,圆x2+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程是什么?(2)在平面直角坐标中,一条曲线经过伸缩变换后,曲线方程变为y2=2x,则原来的曲线方程是什么?解:(1)设P(x,y)
5、是变换前的点,P′(x′,y′)是变换后P点的对应点,由题意,代入x2+y2=1中,整理得4x′2+9y′2=1,即4x2+9y2=1,此曲线方程表示的图形是椭圆.(2)变换后的曲线方程为y2=2x,即y′2=2x′,把代入,整理得到y2=x,此曲线方程表示的图形是抛物线.【例题2】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.(1)当函数y取最大值时,求自变量x的集合;(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?思路分析:首先要把y=cos2x+sinxcosx+1变为
6、y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据平移和伸缩公式求解.解:(1)y=cos2x+sinxcosx+1=·1+sin2x+1=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+.由2x+=2kπ+,解得x=kπ+,k∈Z.所以y取得最大值时,对应的x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.(2)将y=sinx的图象按向量a=(,0)平移,得到y=sin(x+)的图象;将y=sin(x+)按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换,得到y=sin(2x+)的图象;将y=sin(2x+)按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换,得到y=sin(2x
7、+)的图象;将y=sin(2x+)按向量b=(0,)平移,得到y=sin(2x+)+的图象.绿色通道本题主要考查三角函数的恒等变换和函数图象的变换.一般要把已知条件中的三角函数式变换为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再根据相应的平移或伸缩变换公式求解.变式训练2.曲线y=2cos3x经过怎样的伸缩变换可使方程变形为y=cosx?解:由y=2cos3x,得=cos3x,令y′=,x′=3x,可得y′=cosx′.所以函数y=2cos3x经过伸缩变换得到函数y=cosx.教材链接[P35思考](1)由所确定的伸缩变
8、换的意义是什么?答:设P(x,y)是变换前曲线上的点,P′(x′,y′)是变换后曲线上的点,由x=x′,ky=y′所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k>1时,表示伸长;当k<1时,表示压缩),即曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的k倍.[P36思考](2)由所确定的伸缩变换的意义是什么?答:设P(x,y)是变换前曲线上的点,P′(