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《高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换自主整理1.一般地,由所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为k向着___________轴的伸缩变换（当k＞1时，表示____________；当k＜1时，表示____________），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍．答案:y伸长压缩2．直线经过伸缩变换后是____________，圆经过伸缩变换后可能成为____________．答案:直线椭圆高手笔记1.直线经过伸缩变换后仍是直线．由此可知，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变．2．圆经过伸缩变换后可能成为椭圆
2、，反之，椭圆经过伸缩变换后成为圆或椭圆．3．点(x,y)经过伸缩变换后的坐标变为(kx,ly)；曲线f(x,y)＝0经过伸缩变换后的曲线方程为.名师解惑1.正弦函数，x∈R的图象经过怎样的变换，变为函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A＞0，ω＞0，ω≠１）的图象？剖析：y=sinx先按向量a=(-φ,0)经过平移变换后变为y=sin(x+φ)，再按伸缩系数k=向着y轴进行伸缩变换，最后按伸缩系数k=A向着x轴进行伸缩变换，得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象．2.设P(x,y)是变换前图形f(x,y)＝0
3、上点的坐标，P′(x′,y′)是变换后P点对应点的坐标，在伸缩变换下,P、P′点的坐标有什么关系？剖析：若已知P点坐标(x,y)，则变换后的对应点P′的坐标为(kx,ly)；反之，若已知P′的坐标为(x′,y′)，则P点坐标为．讲练互动【例题1】在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换．思路分析：利用待定系数法，设变换为（其中λ,μ＞0）,可将其代入第二个方程，通过比较系数求出λ,μ的值．解：设所求的伸缩变换为（其中λ,μ＞0），代入方程2x′-y′＝４，得2λx
4、-μy＝４．与x-2y＝2比较，将其变成2x-4y＝４，比较系数得λ=1,μ=4．所以伸缩变换为,即直线x-2y＝2上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的４倍,可得到直线2x′-y′＝４．绿色通道求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了．变式训练1.（1）在平面直角坐标中，圆x2+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程是什么？（2）在平面直角坐标中，一条曲线经过伸缩变换后，曲线方程变为y2=2x,则原来的曲线方程是什么？解：（1）设P(x,y)
5、是变换前的点，P′(x′,y′)是变换后P点的对应点，由题意，代入x2+y2=1中，整理得4x′2+9y′2=1,即4x2+9y2=1,此曲线方程表示的图形是椭圆．（2）变换后的曲线方程为y2=2x，即y′2=2x′，把代入，整理得到y2=x，此曲线方程表示的图形是抛物线．【例题2】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R．（1）当函数y取最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？思路分析：首先要把y=cos2x+sinxcosx+1变为
6、y=Asin(ωx+φ)的形式，再根据平移和伸缩公式求解．解：(1)y=cos2x+sinxcosx+1＝·1+sin2x+1＝cos2x+sin2x+＝sin(2x+)+.由2x+=2kπ+，解得x=kπ+,k∈Z.所以y取得最大值时，对应的x的集合为{x｜x=kπ+,k∈Z}．（2）将y=sinx的图象按向量a=(,0)平移，得到y=sin(x+)的图象；将y=sin(x+)按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，得到y=sin(2x+)的图象；将y=sin(2x+)按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换，得到y=sin(2x
7、+)的图象；将y=sin(2x+)按向量b=(0,)平移，得到y=sin(2x+)+的图象．绿色通道本题主要考查三角函数的恒等变换和函数图象的变换．一般要把已知条件中的三角函数式变换为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再根据相应的平移或伸缩变换公式求解．变式训练2．曲线y=2cos3x经过怎样的伸缩变换可使方程变形为y=cosx？解：由y=2cos3x,得=cos3x，令y′=,x′=3x，可得y′=cosx′．所以函数y=2cos3x经过伸缩变换得到函数y=cosx．教材链接［P35思考］(1)由所确定的伸缩变
8、换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由x=x′,ky=y′所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换（当k＞1时，表示伸长；当k＜1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍．［P36思考］(2)由所确定的伸缩变换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P′（
