《量子力学》自学辅导 07 表象理论new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第13卷第3期参巷事豪罄Vo1．13N0．3l994年3月Mal-．1994@《量子力学》自学辅导之七——表象理论愉1)宋宇謦l裴文午f；J(复旦大学物理系：复旦大学理论物理骨干教师班，上海200433)根据量子力学基本原理，量子力学的状态用渡函b，州给出的是量子态在l时刻测量粒子坐标为数描述，力学量用线性厄米算符描述但我们以前所使的概率；而Ia(f)培出的是这个态中测量粒子的力用的渡函数及力学量算符都是以坐标这个力学最算符学量Q所得结果为的概率．二者从不同角度对同一拘本征值谱(一维为佣)为变量而写出其具体形式的量子态给予描述．所以从物

2、理意义上来说，f)与那么，是否可以选择其它力学量呢?回答不但是肯定an(I)是等价的．另外，从数学度看，由{a(f)}可得的，而且是必要的．因为恰当选择描述体系的具体形式，r)，反之，由，t)又可得{(f)}．所以二者也(自变量)往往会给运算带来报多方便．是等价的．怛需注意一般a．(f)不再是坐标的函数量子力学中状态和力学最卉俱体表示方式称为表【“)=6b—)除外]，而是某力学量口的本征值象．我们经常接触到的有：坐标表象．动量表象能量的函数了，亦即是的函数．aa“)随的不同而取表象和角动量表象．重要内容有不同复数值．一个定义：表象的定义12Q衷象中态函数的表示(态的Q表象)．{(f)

3、}是从力学量Q的角度描述量子态的波函二懒示：{．数．所以称{an(r))为量子态在Q表象中的表示(或量r平均值公式、子态的口表象)．一般说采{“)}总是一系列复数：三个公式：t本征值方程}在任意表象中的表示a1(f)a2(f)⋯an(r)．当我们以表示量子态．这L薛定谔方程J个态在口表象中的表示可写成一列矩阵形式而幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质．本次／a．雾分辨．由于栽们所采用的数嚣学工具錾主要是矩阵，所以望选=I2：(4)一部分又称为矩阵力学．、4l态在任意衷象中的表示共轭矩阵为1．1Q襄象的形成=(d(r)，口(r)，⋯，口(1))(5)首先考虑的是坐标表象中力学量算符

4、口的本征函数完备系{)}及本征值谱{}．体系状态用坐标表体系的归一化条件I，f，t~=EI“=J象中归一化渡函数．1)描述时，可展开为力学量Qi，写为矩阵=I(6)的本征函数的叠加1．3讨论(i)Q表象中状态的描述{(r))依赖干(“)。一(b)(1)坐标表象中力学量Q的本征函数系{“，1))，每一个“)岿定给出在Q表象中的一个对应数a(r)．(2)而口(I=J“：()(，)d所以b)}类似于几何空间的坐标轴，称之为Q表象的基矢：相当于这个空间中的矢量．称之为态矢(不井且“(3)用指明表象)；那么态矢量在Q表象的基矢上的分维普资讯http://www.cqvip.com量{“，(f)

5、}就构成了在Q表象巾的表示．但{口()}构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的(连续谱1．所以把这个空间称为希尔伯特空问．简称态空阃．r(2)对连续喏，(f)=I(，，)dx是连续的J一般即写为函数形式．当然也可写为矩阵形式．不过这个矩阵的行列是不可数的．(3)力学最算符Q的本征函数()在Q表象巾(称为自身表象1“)=I“()“()dx=，即基矢“h)在自身表象的矩阵表示为。。～态矢的矩阵形式仍为1“(I+。I)++-啦()+=@(7)(4)所谓Q表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征志，例如在H．L、L．三者的共同表象r}1，基矢为=．1．4特倒=(I)动量表象．以力学量

6、完全集{p，，脚共同本征函数h，Y，=)=e}p作为基矢(善)=(薹：)任意志r(，Y·z，f)I(p，f)uph，Y，=2力学■算符在任意衰象中的寰示J力学量算符的具体形式应谈与波函数的具体形式r故(f)=Ih，：)，z)dp(8)相对应，以保证对渡函数的作用有意旦．J为连续谱，如具体给出状态为平面单色波2．1任意力学-算符(x，一访去l在Q裹象中的衰示，Y，z：)=e音‘一表象中，，的算符方程为(以一维为例)“，=)e音nh，f)，，一访专)“，f)(1o)这是动量算符的本征值为的本征态，它在动量表象选择Q表象时，首先注意到力学量算符Q的本征函数中的表示为完垒集{“，．h)舴为基

7、矢，井假设Q具有分立的本征41维普资讯http://www.cqvip.com3．1初■表幂动量算符本征函数up(，)=e÷作1co(，f)：∑6(f)(x)(11为基矢，则算符(，一i方鲁)在动量表象中舶矩阵元为=lJ(，)(，一击去(2o)(1)动最算符Fml()(，一忻吉)(枷(13)叭一=I『一=p：5P)动量算符在自身表象巾即为动最或p．(2)坐标算符一=，=【＼；Fll善Fi2≥．．．；Fim．．．)㈣Ir(r(rd，=Ir，c，h)d，面毒2