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1、量子力学——表象理论——根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。∧∂前面所使用的波函数ψ(x,t)及力学量算符F(x,−ih)均以坐标x（以一维为例，实际是坐标这∂x个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）⇒回答是：不仅有，且非常必要！⇒因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。一个定义：表象的定义；二个表示：态在任意表象中的表示，算符在任意表象中的表示；三
2、个公式：平均值公式，本征值方程，薛定谔方程在任意表象中的表示。幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质。表象理论中采用的数学工具主要是矩阵⇒矩阵力学（Heisenberg海森堡）〖前称波动力学Schro&&dinger〗1态在任意表象中的表示1.1Q表象的形成∧首先考虑，在坐标表象中力学量算符Q的本征函数构成正交归一完备系{u(x)}，其n本征值譜{}Qn；体系状态用归一化波函数ψ(x,t)描述，将其展开为力学量Q的本征函数的叠加ψ(x,t)=∑an(t)un(x)（1）n*而a(t)=u(x)ψ(x,t)dt（2）n∫n22并且∫ψ(x,t)dt=∑an(t)=1（3）n2说明
3、：（1）ψ(x,t)表示（给出）量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率2a(t)表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量Q所得结果为Q的概nn率二者从不同角度对同一量子态给予描述物理意义是等价的ψ(x,t)⇔{a(t)}数学角度也是等价的n（2）at)(一般不再是坐标x的函数[u(x)=δ(x−x′)除外]，而是力学量Q的本征nn值Q的函数，即的函数，随nn的不同取不同复数值n1.2Q表象中态函数的表示（态的Q表象）{a(t)}是从力学量Q的角度描述量子态的波函数⇒{a(t)}为量子态在Q表象中的表nn1示以ψ表示这一量子态，则该态在Q表象中的表示可写成一列矩阵形式⎛a1(t)⎞⎜
4、⎟⎜a2(t)⎟ψ=（4）⎜⎟M⎜⎟⎜⎟a(t)⎝n⎠+***共厄矩阵为ψ=(at)(at)(Lat)()（5）12n22体系的归一化条件∫ψ(x,t)dx=∑an(t)=1写为矩阵形式为n+ψψ=1（6）1.3讨论（1）Q表象中状态的描述{a(t)}依赖于坐标表象中力学量Q的本征函数系{}u(x)，每nn一个u(x)必定给出ψ在Q表象中的一个对应数at)(，可见nn几何空间坐标轴⇔{u(x)}⇔Q表象的基矢n几何空间中的矢量⇔ψ⇔态矢态矢ψ在Q表象基矢上的分量{a(t)}构成了ψ在Q表象中的表示，由于{a(t)}构nn成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的⇒希尔伯特空间（态空
5、间）*（2）对于连续谱，a=uψ(x,t)dx是连续的，写成函数形式矩阵行列不可数q∫q∧（3）力学量算符Q的本征函数u(x)在Q表象中（自身表象）n*a(t)=u(x)u(x)dt=δδ符号n∫nmnm∧即Q的本征值为分离谱时，其基矢u(x)在自身表象中的矩阵表示为n⎛0⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜M⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜⎟u=u=KKu=1（7）1⎜0⎟2⎜0⎟n⎜⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜0⎟⎝M⎠⎝M⎠⎜⎟⎝M⎠态矢的矩阵形式仍为2⎛a1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜a2⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜⎟ψ=au+au+L=a+a+…=M11221⎜0⎟2⎜0⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜an⎟⎝M⎠⎝M⎠
6、⎜⎟⎝M⎠∧注意：当Q的本征值为连续谱时，其基矢u(x)在自身表象中为δ函数n∧∧∧2（4）所谓Q表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态，例如在H,L,L三z者的共同表象中，基矢为u=ψ，即共同本征函数系为{}ψnlmnlmnlm1.4特例⎧∧∧∧⎫1ipv⋅rv（1）动量表象.以力学量完全集⎨p,p,p⎬的共同本征函数uv(x,y,z)=ehxyzp2/3⎩⎭2(πh)作为基矢，则任意态vvψ(x,y,z,t)=av(p,t)uv(x,y,z)dp∫pp故a(t)=u(x,y,z)ψ(x,y,z)dτp∫p为连续谱，若具体给出状态为平面单色波ivvi1(p⋅r−E0t)
7、−E0tψ(x,y,z,t)=eh=uv(x,y,z)eh2/3p02(πh)这是动量算符的本征值为p的本征态（在坐标表象中的表示），它在动量表象的表0示为ii*−E0t−E0tvva(t)=u(x,y,z)u(x,y,z)ehdτ=ehδ(p−p)（8）p∫pp00v即自身表象中是以动量p为变量的δ函数（x表象中同样存在以坐标x′为变量的δ∧函数，它是坐标算符x的属于本征值x′的本征函数）（2）能量表象（中心力场能量为例）∧∧∧2力学量完全集H,L,L的共同本征函数ψ(r,θ,
