量子力学讲义iv. 表象理论 ( 矩阵表述 )

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1、IV.表象理论(矩阵表述)1．如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由？     答：矩阵表示一般用于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。具体说，如果力学量的本征矢为，相应本征值分别为。假定一个任意态矢为，将它展开则态矢在表象中波函数便可用展开系数的一列矩阵表示其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。力学量用厄米方阵表示，。显然，一列矩阵和方阵维数与希尔伯空间维数是相等的。用矩阵表示力学量，有如下理由：第一可以反映力学量作用于一个量子态得到另一个量子态的事实。设，式中，。取，两端左乘，取标积得，即第二矩阵乘法一般不满足交

2、换率，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求。第三厄米矩阵的性质能体现力学量算符的厄米性。对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运用矩阵表示，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。2.量子力学中，不同表象间：基矢、波函数、力学量是如何变换的？     答：量子力学中由一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，它类似于欧氏空间中坐标转动。设表象中的基矢为表象中的基矢为(1) 基矢变换关系为式中，（为幺正矩阵）。设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。(2)波函数变换规则为：矩阵。(3)力学量变换规则为：。（式中与为力学量在、表象中矩阵）3.正

3、变换有什么特征？     答：幺正变换特点：(1幺正变换不改变态矢的模，这一特征相当于坐标旋转变换；(2幺正变换不改变力学量本征值；(3)力学量矩阵之迹TrF与矩阵行列式dgtF亦不因幺正变换而改变．4. 学量在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?     答：如果力学量本征值为离散谱，那么，它在其自身表象中表示式为对角矩阵，为诸本征值。本征矢为单元素一列矩阵如果力学量本征值为连续谱，则它在其自身表象中为纯变量其本征矢为函数。，对应本征值为。5. 力学量的矩阵对角化含义是什么?     答：如果力学量的矩阵是非对角矩阵，则说明不是在其自身表象中表示，而是在

4、某个其他表象中的表示（表象以力学量的本征矢作为基矢）。所谓将矩阵对角化，也就是将转换到其自身的表象中来，这样做的目的是求矩阵的本征值。6．给定总能量算符，以表示其本征值和本征函数，态矢量a简记为。     答：按照海森伯运动方程，力学量算符的时间变化率算符为：（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中证明：满足本征方程（4）其共轭方程为式（1）两端取能量表象中矩阵元，即得此即式（3）。7．设，证明求和规则。（1）     证明：利用算符的海森伯运动方程，可得(2)取矩阵元，利用上题的结果，即得（3）再利用基本对易式（4）在能量本征态下求平均值，即得两端各

5、乘，即得（1）式。的另外两个分量和的矩阵元，显然也有同样的求和规则。注意，式(1)中可以是任何一个特定的能级，则遍及所有能级。电子科技大学光电信息学院Copyright © 2005