量子力学的矩阵形式与表象变换

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1、4.5量子力学的矩阵形式与表象变换量子力学常用有两种理论形式：本节内容：4.5.1量子态的不同表象，幺正变换。二者通过表象变换可以等价。薛定谔的波动力学采用的坐标表象；　海森堡当初矩阵力学采用的能量表象。1、薛定谔的波动力学；2、海森堡的矩阵力学。4.5.2力学量（算符）的矩阵表示。4.5.3量子力学的矩阵表示。4.5.4力学量的表象变换。4.5.1量子态的不同表象，幺正变换。1、同一矢量A的不同坐标表示及其变换。同一量子态的不同表象表示及其变换类似于同一矢量A的不同坐标表示及其变换。。A）.取一

2、个坐标系，相当取三个基矢:三个基矢是正交归一：ei·ej=δijB）任一矢量Ａ可按基矢{ei}展开：A＝A1e1+A2e2+A3e3矢量Ａ可按展开系数即坐标来表示：其中，系数Ai=(ei·A)C）.同一矢量A，取不同的坐标系，其坐标表示是不同的。不同坐标系基矢之间、同一矢量不同坐标表示之间可以变换。这样的三维空间叫位形空间或牛顿空间。以二维坐标系间变换为例。设新坐标系　　　相对原坐标系　　　顺时针转过θ角。则θθU是么正矩阵，U＋＝U－1，即U+U=I。B＋称厄米共轭矩阵，定义：这样变换称么正变换

3、练习，求证U是么正矩阵。基矢变换：同一矢量不同坐标变换：么正变换小结2、量子态的表象及其变换设力学量Ｑ，本征函数｛Ｕn｝,满足：　　　　　　由{Un}的完备性，任何态函数ψ(x)都可以用{Un}展开，即ψ(x)＝∑nanUn(x).其中an＝∫U＊n(x)ψ(x)dx.A）、量子态的表象定义现把力学量算符Ｑ的本征函数｛Ｕn｝看成是某多维坐标系的一套基矢,任何态函数ψ(x)看成一个矢量，叫态矢。展开系数｛ak}就是坐标，排成单列矩阵：量子力学把选定算符Q与正交归一完备本征函数{Un}称之为Ｑ表象。任

4、一态ψ(x)按算符Q的本征函数{Un}展开系数｛ak}所成的单列矩阵ψ就是ψ(x)所描述的态在Ｑ表象的表示。B)、表象与三维空间的类比1）Ｑ表象本征函数→三维空间坐标系基矢都是正交归一,但Ｑ表象是多维的，甚至是　无限维的。这种由无限或有限维的本征函数作基矢构成的空间叫希尔伯特空间2）态函数（叫态矢）→三维空间的矢量A；3）态函数在Ｑ表象单列矩阵→三维空间矢量　　坐标表示；4）不同表象之间变换（表象变换）→坐标系之　　间变换。二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数）与展开系数间的变换。C）表象例子

5、D）不同表象间变换设F表象，基矢为｛ψk},F′表象，基矢为｛ψ′k},－＞a´=Sa基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－Ψa=Ψ´a´=Ψ´SaΔ有关矩阵知识(参考周世勋书P250－255）1．对角矩阵Anm=amδnm.2.转置矩阵3．厄米共轭矩阵(或称共轭矩阵)运算规则：4.厄米矩阵，当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。5.么正矩阵，或，称A为么正矩阵。本征方程：AX=λXA是n×n方阵，X是n行的单列矩阵，称本征矢，λ是常数，称本征值。7.矩阵的本征方程与求解1).矩阵A本征方程、本征矢与本征值

6、2).矩阵A的本征方程求解由AX=λX,得（A-λI）X=0----（1）要有非零解，其系数矩阵行列式必须为0，即，称为久期方程。具体形式为：这是λ的n次方程,解出λ的n个根λi(会有重根,这是简并情况),就是n个本征值.将n个本征值一一代入本征方程(1),可以解出n个对应的本征矢Xi(i=1,2,…n).8.厄米矩阵的本征矢特点B.不同本征值的本征矢是正交的.当λi≠λj时,则A.本征值是实数；(列矩阵的本征矢正交定义:　　　　　　.)（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性组合,变为正交的

7、k个本征矢）.C.厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。Δ.本征矢的归一化:Δ.未归一的归一化系数C:Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开(练习1）练习2，求σx=的本征矢与本征值。9.矩阵迹（spurortrace）定义：spA=　　，（或写成trA）.公式：sp(AB)=sp(BA).厄米矩阵重要性：厄米算符→厄米矩阵，厄米算符的本征函数→厄米矩阵的本征矢。量子力学的所有公式都有对应的矩阵公式，求厄米算符的本征函数与本征值等价于求厄米矩阵的本征矢与本征值。4.5.2力学量（算符）的矩阵表示。1、

8、取一个表象Q，其基矢为{Un}.算符在Q表象的矩阵表示定义为：例1．波函数公式在Q表象里的矩阵表示为：B=FA具体形式为是波函数ψ在Q表象的矩阵表示，是波函数在Q表象的矩阵表示。算符与算符矩阵的对应1）若　是厄米算符，则对应矩阵F是厄米矩阵，即F+=F2）若　　的矩阵分别为A，B，则的矩阵=AB。2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点∆.即　在自身Q表象的表示　。分立谱：　　　　　　　　　　　，Q是对角矩阵，对角元是本征值qn。连续谱：Q也是对角矩阵，但对角元是无穷大。练习4：求