第七章量子力学的矩阵形式与表象变换.ppt

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1、1925年7月初，海森伯终于完成了题为“从量子理论重新解释运动学和力学关系”的论文。建立了矩阵力学。1926年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文·薛定谔发展了另一种形式的量子力学――波动力学。薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在内的许多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的波动力学时却显得迅速得多。历史回顾：量子力学的建立---矩阵力学和波动力学的提出第七章量子力学的矩阵形式与表象变换方阵：行数与列数相

2、等的矩阵。矩阵简介1、定义2、两矩阵相等（行列数相等）3、两矩阵相加（行列数相等）4、两矩阵相乘（一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘）(1)称A、B矩阵相互不对易称A、B矩阵相互对易（2）(3)(4)，但B=C不一定成立(5)AB=0，但A=0，B=0不一定成立(6)A2=0，但A=0不一定成立5、对角矩阵:除对角元外其余为零6、单位矩阵单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。7、转置矩阵：共轭矩阵：8、厄密矩阵：如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等则称A矩阵为厄密矩阵表象理论根据量

3、子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。一个定义：表象的定义二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示力学量（算符）在任意表象中的表示三个公式：平均值公式本征值方程薛定谔方程在任意表象中的表示表象理论中采用的数学工具主要是矩阵矩阵力学（海森堡

4、Heisenberg）§7.1量子态的不同表象讨论分立谱的情况的本征值为：F1,F2,...,Fn,...，相应本征函数：构成正交归一完备系在坐标表象中设力学量算符若体系状态用归一化波函数(x,t)描述，有：说明：给出量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率密度（1）

5、an(t)

6、2表示在(x,t)所描述的状态中测量F得Fn的概率密度二者从不同角度对同一量子态给予描述,物理意义是等价的,数学上也是等价的.（2）an(t)一般不再是坐标x的函数而是力学量F的本征值Fn的函数，即量子数n的函数，随n的不同取不同复数值.结论：{an(t)}与(x,t)描述体系的同一个态，(x,t)

7、是这一状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，用F标记：把矩阵F称为(x,t)所描写的状态在F表象中的波函数F的共轭矩阵是一个行矩阵，用+F标记若用矩阵表示归一化，有：综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。例:若给出：中心力场能量表象为：Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。

8、在量子力学中，我们可以建立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数可用这组分量来表示。，在F表象中态矢量F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。§7.2力学量(算符)的矩阵表示力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义。F表象中的算符表示（分立谱的情况）：设量子态经过算符运算后变成另一个态：在以力学量完全集F的本征态k为

9、基矢的表象（F表象）中，上式变成：以左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的整个区域得表成矩阵的形式则为：在F表象中的矩阵表示，而矩阵左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数和波函数中的表示。即算符则有：用表示这个矩阵在F表象的性质讨论：F表象中力学量算符1、算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。证明:2、力学量算符用厄密矩阵表示即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的复共轭，这就是厄密矩阵。用L+表示矩阵L的共轭矩阵，则有：其对角矩阵元为