量子力学 07量子力学的矩阵形式与表象变换ppt课件.ppt

《量子力学 07量子力学的矩阵形式与表象变换ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章量子力学的矩阵形式与表象变换1量子态的不同表象么正变换2力学量（算符）的矩阵表示3量子力学公式的矩阵表述4Dirac符号7.1量子态的不同表象么正变换到目前为止，体系的状态一般都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为

2、作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：组成完备系，任一状态Ψ可按其展开展开系数假设Ψ(x,t)是归一化波函数，则C(p,t)也是归一。命题证动量表象

3、C(p,t)

4、2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率。

5、Ψ(x,t)

6、2dx是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x

7、+dx范围内的几率。Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。C(p,t)物理意义若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量p’的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ-函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。x在自身表象即坐标表象中对应有确定值x’本征函数是δ(x'-x)。同样这可由本征值方程看出：同一状态可以在不同表象

8、用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。讨论坐标表象动量表象动量本征函数C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/h]不含时动量本征函数ψp'(x)=C(p)=δ(p'-p)本征方程pψp'(x)=p'ψp'(x)pδ(p'-p)=p'δ(p'-p)Ψp'(x,t)=[12πh]1ei(p'x-E't)/h2[12πh]1ei(p'x)/h2这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由三分量Ax，Ay，Az描述；在球坐标系用三分量Ar，A，A

9、描述。Ax，Ay，Az和Ar,，A,，A形式不同，但描写同一矢量A。态矢量基本矢量量子力学表象坐标系不同表象波函数不同坐标系的一组分量u1(x),u2(x),...,un(x),...i,j,k,a1(t),a2(t),...,an(t),...Ax,Ay,Az量子状态Ψ(x,t)矢量A波函数是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定

10、力学量Q表象，相当于选取特定的坐标系，u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量简称基矢。那末，在任一力学量F表象中，Ψ(x,t)所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量F都建立一种表象，称为力学量F表象。问题力学量表象解析几何中的坐标变换1.在坐标系中基矢集为：并满足正交归一完备性。正交归一性平面上任何一个矢量可用它们来展开，或，可由基矢线性叠加表示该坐标系中任意一个矢量——完备性任意矢量在坐标系中具体

11、表示：其中2.在坐标系中基矢量为：满足正交归一完备性：正交归一性完备性：与的线性叠加能够表示该坐标系中任何一矢量。任意矢量在坐标系中的具体表现形式：其中3.同一矢量在和坐标系中的具体表现之间的关系：用，点乘上面等式，便有表示成矩阵形式：根据两组基矢集的几何关系，可得：把在两个坐标系的表示联系起来的变换矩阵。变换矩阵的矩阵元正是两个坐标系的基矢之间的标积，描述基矢之间的关系。其中因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示之间的关系，也随之确定。由于变换矩阵具有如下性质：这种矩阵称为真正交矩

12、阵。即是一个幺正矩阵。4.变换矩阵R的性质又由于所以因此，同一个矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正变换联系。希尔伯特（Hilbert）空间量子态在某一具体表象中的形式定义在复数域上的，完备的，无穷维线性函数空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间。给定一个线性厄米算符找出它的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭性，可以作为Hilbert空间的一组基矢表象具有分立本征值的情况设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...。相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),.