高等量子力学-理论方法-1表象理论.ppt

《高等量子力学-理论方法-1表象理论.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用高等量子力学三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、散射理论六、多粒子体系理论七、二次量子化八、相对论量子力学三、量子跃迁理论四、自旋与角动量理论（一）态的表象（二）算符的矩阵表示（三）量子力学公式的矩阵表述（四）幺正变换（五）Dirac符号一、表象理论重点掌握的内容◆二个表示：态在任意表象中的表示；算符在任意表象中的表示。◆三个公式：在任意表象中的表示平均值公式本征值方程薛定谔方程◆Dirac符号及应用◆幺正变换的基本性质表象的定义◆一个定义：（一）态的表象

2、动量表象能量表象角动量表象常用的表象坐标表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象任意力学量表象构成付里叶变换与逆变换展开系数任一状态可按其展开：从数学上讲，知道其一,必可唯一地求出另一。从物理角度看，描述粒子状态，那么描述粒子同一状态。1．态的动量表象组成完备系动量算符本征函数：物理意义？是在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果为的概率。是在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为的概率。两者从不同的侧面描写粒子的状态,给出了粒子的不同信息（力学量和的信息）。称为坐标表象中的状态波函数，称为动量表象中的状态波函数。2．Q表象任一状态可按其

3、展开：展开系数：力学量算符的正交归一的本征函数完备系：本征方程：由上述两式给出了与函数集之间的相互变换关系，将写成矩阵对于与，知道其一就可求得另一，因而与描述粒子同一状态。是粒子状态波函数在Q表象中的表示，称为Q表象波函数.给出在态中测量粒子的力学量Q取值的概率.（归一化条件的矩阵表述形式）归一化条件注以上讨论可推广到Q有连续谱的情况粒子处于一维无限深势阱的基态：求该态在动量和能量表象中的表示形式。例1动量本征函数展开系数：解选择动量表象:能量表象：本征函数可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取δ符号形式。基态的表示能级态的表示一般结论:力学量

4、算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一δ符号,其矩阵为单位元矩阵。第n行解自由粒子动量算符的本征函数动量算符具有确定本征值的本征函数:可见，动量算符具有确定本征动量值的本征函数在动量自身表象中是以动量为变量的δ函数。求自由粒子动量算符具有确定本征值的本征函数在动量自身表象中的形式例2动量算符的本征方程一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一δ函数。本征值方程:在坐标表象中，坐标算符　的本征函数同样以上讨论与三维矢量空间矢量的表示很类似。在三维矢量空间选一组正交归一完备基正交归一条件力学量算符的正交归一完备

5、函数系构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基矢。任一态矢注意：由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复线性空间态矢量：Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢）Hilbert空间与态矢量表象与几何空间坐标系的比较量子力学表象几何空间坐标系某一表象本征态矢量某一坐标系的一组基矢正交归一正交归一矢量:量子态矢量：结论１．选定一个特定表象，就相当于在Hilbert空间中选定一个特定的坐标系,力学量算符的正交归一完备函数系构成Hilb

6、ert空间中的一组正交归一完备基矢。２.任意态矢量在表象中的表示是一列矩阵，矩阵元是态矢量在算符的本征矢上的投影。3．选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基矢，态矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波函数。希尔伯特(D.Hilbert)(1862～1943)德国数学家,格廷根(哥廷根)大学教授.希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派,使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名

7、讲演。（二）算符的矩阵表示力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示坐标表象动量表象问题力学量算符在表象中如何表示？在坐标表象中，力学量F用算符表示，设作用于得到。（1）即选定力学量表象，算符的正交归一的本征函数完备系记为将和分别按函数系展开代入坐标表象表达式（1）以乘该式，对全部范围积分Q表象的表达方式记为矩阵和分别是波函数和在Q表象中的形式。记为可见，算符在Q表象中是一个矩阵，其矩阵元为讨论1．是厄米矩阵证即是厄米矩阵。显而易见，对角矩阵元为实数2．力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵3．当具有连续本征值谱时，力学量算符的表示在Q表象中仍是

8、一个矩阵，不过其行列不再是可数的，故用连续变化的下脚标表示。1．归一化条件（三）量子力学公式的矩阵表述2、平均值公式其中为算符　的矩阵元