高等量子力学 理论方法 5

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1、一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用高等量子力学1三、量子力学的理论方法一、表象理论二、微扰理论五、散射理论六、多粒子体系理论七、二次量子化八、相对论量子力学三、量子跃迁理论四、自旋与角动量理论2第六章散射理论一、散射过程、散射截面二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射四、格林函数法和波恩近似3散射过程：Zθds靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。一、散射过程、散射截面4散射角：入射粒子受靶粒子势场

2、的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。5设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然综合之，则有：或（1）比例系数q(，)的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数散射截面dsZθ6q(，)具有面积的量纲故称q(，)为微分散射截面，简

3、称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。（2）7总散射截面：[注]由于N、可通过实验测定，故而求得。量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。8现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrödinger方程（4）令方程（4）改写为9（5）由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算时，仅需考虑处的

4、散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。设时，，方程（5）变为（6）10在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即（7）对于三维情形，波可沿各方向散射。11散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波的系数，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。（8）12单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为（11）比较（1）式与（10），得到（10）（9）13下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。由此可知，若知道了，即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给

5、定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrödinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（7）而得出。14取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，对于具有确定能量的粒子，方程（2-1）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。（2-1）粒子在辏力场中的势能为，状态方程由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成二、中心力场中的弹性散射（分波法）15方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加（2-2）（2-2）代入（2-1），得径向方程为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，

6、称为第个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f…分波（2-3）16令代入上方程（2-4）考虑方程（2-4）在情况下的极限解令方程（2-4）的极限形式由此求得：（2-5）17为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的渐近形式（2-6）18另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（2-7）（2-8）式中jl(kr)是球贝塞尔函数将平面波按球面波展开（2-9）19利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成（2-10）（2-6）和（2-10）两式右边应相等，即分别比较等式两边和前边的系数，得20（2-12）（2-

7、11）可以得到用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性21即（2-13）将此结果代入（2-11）式（2-14）22可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求的具体值关键是解径向波函数的方程（3-3）由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（2-6）知，是散射波第个分波的位相。所以，是入射波经散射后第个分波的位相移动（相移）。的物理意义：23微分散射截面（2-15）总散射截面24即（2-16）式中（2-17）是第个分波的