[文学]高等量子力学

《[文学]高等量子力学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3-4无穷维空间情况有限维无穷维空间厄米算符①离散本征值谱可数②连续本征值谱（例动量）不可数厄米算符完备组A①离散本征值谱n无穷多个,则②本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号连续实变量本征方程连续本征矢的正交归一化关系假设本征矢量有完全性类比连续函数有限说明这种本征矢同Hilbert空间中所有其它归一化矢量的内积都是有限的。QM存在这样的算符，其本征值谱在一个区间是离散，在另一区间是连续的，则连续谱的算符离散谱的算符一部分离散谱一部分连续谱各种关系一一对应，作一般讨论，希望两种情况都适用。约定取和或积分是随意的：都适用对简洁，适于理论推导，但不具体§4表象理论

2、§4-1矢量和算符的矩阵表示表示抽象具体例三维物理空间（x,y,z）(坐标表示)一组数字表示(群表示)选定一组基矢物理上，取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K算符完备组中各算符本征值序号的集合QM，取定这样一组基矢称为取一个表象，该表象用算符完备组K命名，称K表象。空间中任意矢量，用它展开：复数在上的分量两矢量的内积：分量表示1一组数具体表示一个算符确定A，确定数﹋如果把左矢,右矢和算符写成下列矩阵形式,则上述这些分量关系成为矩阵间的乘法关系则矢量的相加、数乘和内积，算符的相加和相乘，算符对矢量的作用等都可用具体的矩阵表示。除加法以外的所有运算全部成为矩阵的乘法，例如：

3、对两个算符乘积C=AB,有通过在矢量空间中建立基矢，找到用矩阵具体表示矢量、算符和它们之间的关系，便于具体的运算和求出具体的结果。对应抽象右矢空间内积左矢空间具体化将抽象矢量空间与具体的新矢量空间——矩阵空间一一对比：行矩阵空间矩阵+×列矩阵空间矩阵+×：在基上的分量用一组数表示新矢量空间内积一对对偶左右矢空间一对对偶行列矩阵空间算符方矩阵共同算符矩阵乘法§4-2表象变换一个空间不同的基矢量和算符的不同表象表象K矢量算符基矢完全性关系变换关系表象L？已知矩阵表示行列按序号编号按序号编号与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所不同是幺正矩阵行列编号与相反满足矢量表象变换——求变换

4、关系矢量的表象变换已知写成矩阵形式反过来，矢量的表象变换算符反过来，算符的表象变换表象变换改变矢量与算符的矩阵表示，但不改变的数值。实际上，数学上的表象变换酉变换复空间欧式空间正交变换保持任意矢量的长度的线性变换﹋幺正变换§4-3若干矩阵运算方矩阵的迹定义：的性质：的行列式：性质：②①Proof:附：=0算符的迹和行列式在任何表象中有相同的值性质：在表象变换下不变算符的表象变换是一种相似变换知道矩阵的相似变换（方阵）幺正称相似数学上定义不要求为幺正定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成为对角矩阵Proof：采取直接把变换矩阵给出来的证法。①②§4-4连续本征

5、值性质离散连续表象理论有限维空间推广无限维表象基矢无穷维形式推广在无穷维空间中取K表象，而厄米算符或对易的厄米算符完备组K具有在某一区间的连续值谱。离散表象连续表象数列函数双变量函数（对行矩阵和方阵同样理解）所有运算都是矩阵的乘法关系这样把离散连续表象的的记法做到完全的一一对应，统一写成：§