高等量子力学习题

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1、高等量子力学习题†量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换下保持不变，则必有。这里为体系的哈密顿算符，变换不显含时间，且存在逆变换。进一步证明，若为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。2、令坐标系绕轴转角，试写出几何转动算符的矩阵表示。3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴转角，在此转动下，态函数由变为。试导出转动算符的表达式，并由此说明，若体系在转动下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋。5、证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇

2、称算符为实算符。6、试证明幺正算符与复数共轭算符的乘积为反幺正算符。7、试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为。8、试讨论由时间反演不变性引起的Kramers简并。†角动量理论1、角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。2、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。3、定义角动量升降算符，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数，相应的磁量子数的取值范围。4、给出角量子数情况下，角动量平方算符及角动量各分

3、量的矩阵表示。5、设总角动量算符，、相应的角量子数分别为和，试讨论总角动量量子数的取值情况。6、利用已知的C-G系数的对称性关系，证明以下三个关系式：　　　　1、已知在表象中，，，问在表象中的矩阵表示是怎样的？2、已知，其中，，。试证明：3、两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J必为偶数。†D函数1、设坐标系绕空间任意轴转角，到达。在该转动下角动量算符的本征函数变为。试证是和的共同本征函数，这里为在轴上的投影。2、证明转动算符

4、可表为，其中、、为欧拉角。3、证明函数具有如下的对称性：4、试利用函数的幺正性，给出的逆变换关系式。5、对于无穷小转角，求证：6、对于自旋为和的态函数，计算相应的函数的矩阵表示。1、证明两个函数的乘积满足如下关系2、试利用上题结果及函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：3、试证明是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定理：。†不可约张量算符1、称按规律变换的个算符为阶不可约张量算符，试证明这个定义与不可约张量算符的Racah定义是等价的。2、设分别为阶和阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符为阶不可约张量

5、算符：。3、微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项，其中为张量算符，其表达式可写为　　其中。试证明的这三个定义是等价的。4、设，其中为不可约张量算符，为角动量本征函数。试证如此定义的一定是角动量的本征函数。5、求约化矩阵元，6、一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算，称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式1、试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在态上的平均值），磁矩算符为，其中为微观粒子的玻尔磁子。2、†多个角动量耦合1、试证明三个C-G系数乘积的求和公式。2、试证明两个

6、Racah系数乘积的求和公式3、试计算矩阵元和4、试证明一个角量子数为零的符号可化简为†二次量子化方法1、给定算符，且满足，，试证：1）；的本征值只能取1和0。2）在对角化表象中，给出和的矩阵表示。2、设，令，证明3、令，证明无论对玻色子还是费米子，均有其中为量子态标记。1、考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式其中为单粒子动能算符，为两粒子相互作用能。选取箱归一化的动量本征函数作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量在二次量子化表象中可写成如下形式，式中，第二项求和是在条件限制下作出的。2、某费米子体系的每个单粒子能级都是二重

7、简并的，属于单粒子能级的两个简并态用标记，相应的产生、消灭算符记为。定义，，是能级上产生（消灭）一对粒子的算符，是能级上的粒子数算符。证明，，。3、证明由表达式，和定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换算符的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。4、均匀外场中质量为，所带电荷为，频率为的一维谐振子体系。引入玻色子算符，试证明可将哈密顿量表成，并将其对角化。式中。†相对论量子力学1、已知，，试在为对角的表象中建立的矩阵表示。2、对于自由电子，证明是守恒量，并求出其本征值。3

8、、试证明矢量算符　　满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。进而求出的本征值。4、中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac方程的方法，建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷II）］5、求狄拉克粒子在深为、宽为的一维方势阱中