高等量子力学习题答案

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1、高等量子力学习题和解答†量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换下保持不变，则必有。这里为体系的哈密顿算符，变换不显含时间，且存在逆变换。进一步证明，若为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。解：设有线性变换，与时间无关；存在逆变换。在变换　若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程　进而有2、令坐标系绕轴转角，试写出几何转动算符的矩阵表示。解：用矩阵表示还可表示为1、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴转角，在此转动下，态函数由变为。试导出转动算符的表达式，并由此说明，若体系在转动下保持不变，则体

2、系的轨道角动量为守恒量。解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符利用　　及　可得通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符绕任意轴转角的转动算符为为幺正算符若　则必有若哈密顿量具有旋转对称性，就有→角动量守恒2、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋。解：矢量函数在旋转变换下后式代入前式　又比较得类似可得写成矩阵形式其中改写为再令则若哈密顿量具有转动对称性，必有总角动量守恒由　知→当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为１。例：光子1、证明宇称算符的厄米性和幺正

3、性，并证明宇称算符为实算符。解：定义宇称算符本征问题厄米性幺正性†角动量理论1、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。解：轨道角动量自旋角动量　　　　→　　　　仍为角动量　　证：一般地若两角动量满足　则　也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符　证明：设　　　　即则对于　→2、定义角动量升降算符，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数，相应的磁量子数的取值范围。解：利用升降算符可得到给定下，的全部本征函数１）从出发２）从出发　　　—指标方程及取值情况　　利用和　　　→　　　→1、给出角量子数情况下，

4、角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。解：利用1、设总角动量算符，、相应的角量子数分别为和，试讨论总角动量量子数的取值情况。解：设分别是粒子1、2的角动量　　　有是相应的本征函数对两粒子体系（只考虑角动量涉及的自由度），其总角动量　的本征方程为问题：１）　　　２）已知是共同的正交归一完备本征函数系　　→可将作展开2、已知在表象中，，，问在表象中的矩阵表示是怎样的？†二次量子化方法1、给定算符，且满足，，试证：1）；的本征值只能取1和0。2）在对角化表象中，给出和的矩阵表示。解：（1）（2）当为真空时，，本征值为0，本征值为1因为，

5、有所以有本征值只能取0，11、设，令，证明解：验证2、令，证明无论对玻色子还是费米子，均有其中为量子态标记。解：玻色子，对易关系为费米子，对易关系为1、均匀外场中质量为，所带电荷为，频率为的一维谐振子体系。引入玻色子算符，试证明可将哈密顿量表成，并将其对角化。式中。解：有外电场的哈密顿量为带入得到式中引入，可以证明其对易关系为，，可将哈密顿量表成设新的Fock态为，则†相对论量子力学1、已知，，试在为对角的表象中建立的矩阵表示。解：狄拉克表象中的γ-矩阵设其中则有和利用得得到，那么或，那么或，那么2、对于自由电子，证明是守恒量，并求

6、出其本征值。3、中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac方程的方法，建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷II）］†路径积分方法1、证明传播子所满足的组合规则。解：传播子的组合规则为证：时间演化算符2、试在薛定谔图象下计算一维自由粒子的传播子。解：自由粒子的演化算符在位置空间中的矩阵元3、试利用路径积分的方法计算一维自由粒子的传播子［参见曾谨言《量子力学》（卷II）］。解：（4.5.11）及两端点的值(4.5.12)从（4.5.12）可以将用来表示。由（4.5.12）的第二式有得（

7、4.5.13）将（4.5.12）的两式相除得（4.5.14）由（4.5.13）及（4.5.14）可得（4.5.15）（4.5.16）（4.5.17）现在转而求。记（4.5.18）为此讨论下式，利用完备性（4.5.19）用（4.5.10）式中将分成及的表示。应用于上式的两方，得（4.5.20）上面的等式应对任意的都成立。所以可令，上式成为（4.5.21）比较上式左右方看出都是由三个变量的分别的因子组成，所以可得（4.5.22）有了（4.5.22）及（4.5.17）后最后可表示谐振子的传播子（4.5.23）