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1、第一章1、简述量子力学基本原理。答：QM原理一描写围观体系状态的数学量是Hilbert空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM原理二1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄米算符?；2、物理量所能取的值是相应算符?(A)A的本征值；3、一个任意态?Ciai,Ciai；而物理量A在总可以用算符A的本征态ai展开如下：iCi2xi中出现的几率与成正比。原理三一个微观粒子在直角坐标下的位置算符?和相应的正则动量算符?有如下对易关系：????0??iijpixi,xj0
2、，pi,pj，xi,pj原理四在薛定谔图景中，微观体系态矢量t随时间变化的规律由薛定谔方程给it?t在海森堡图景中，一个厄米算符?Ht的运动规律由海森堡HAt方程给出：d?Ht1?H?AA,H原理五一个包含多个全同粒子的体系，在dtiHillbert空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。2、薛定谔图景的概念？答：x,tx
3、t来自t而x来自x>式中态矢随时间而变而x不含t，结果波函数x，t中的宗量t，这叫做薛定谔图景.3、已知1,0
4、(1)请写出Pauli矩阵的3个分量；(2)证明σx的本征态0.1
5、Sx111().1224、已知：P为极化矢量，P=<ψ
6、σ
7、ψ>，其中ψ=C1α+C2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2则：Px=2(x1x2+y1y2)Py=2(x1y2-x2y1)Pz=x12+y12-x22-y22P2=Px2+Py2+Pz2=4(x1x2+y1y2)2+4(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y
8、12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24)=(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(
9、C1
10、2+
11、C2
12、2)25、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A和B成立不等式：（1）先证明一个引理----schwarz不等式：对于两个态矢
13、和
14、，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b，必
15、有：（3）对任意复常数，我们有：（4）
16、取，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取
17、（5）这里用态
18、来强调对任何ket矢量都适用，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易子A,BA,B是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反对易子A,B是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解:设
19、n?是幺正算符S的一个本征态,本征值为n,则?n
20、S
21、n?=n=>?n
22、S=?n
23、n=>S+
24、n?=n+
25、n?即
26、n?也是S+的本征态，而H=S+S+是厄米算符，H
27、
28、n?=(n+n+)
29、n?故
30、n?也是H的本征态，而厄米算符的本征态相互正交,所以幺正矩阵的本征态相互正交.8、试证明：若体系在算子变换Q下保持不变，则必有[H,Q]=0。这里H为哈密顿算符，变换Q不显含时间，且存在逆变换Q-1。9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图SH景无关。海森堡图景,态矢
31、（t）依赖时间t而基矢
32、x不含t,而对于海森堡图景而言，
33、不含t，于是时间依赖性完全转移到
34、
35、x,tH中去了。10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量12222答：一维谐振子的经典哈密顿量：H(Pmwq)12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?答案:产生,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：?由此可知a
36、n和a
37、n分别是N的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。故称其为产生湮灭算符。13、证明谐振子在激发态中xpn2h2证明：xhaa,pimhaa21222m22222x0,p0Vxxxx2222同理：Vpppp222h22haaaaaaaa12aax2m2m2
38、22mhaa12aap22h2mh对于激发态nx2np2n112m22212xpnh2214、请构造相干态.解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在N表象中解此方程，展开：由得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。（1）海森波的矩阵力学，它重视可观察量。把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算
