高等量子力学习题.doc

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1、高等量子力学第一章习题：1、两个态矢量

2、+＞和

3、－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系：；并求出两个态矢量

4、+＞和

5、－＞之间的翻转变换算符及算符的表达式2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H＝a

6、1><1

7、+b

8、2><2

9、+c

10、1><2

11、+d

12、2><1

13、其中

14、1>和

15、2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。问：H的厄密性对系数a,b,c,d有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为

16、1>和

17、2>的线性叠加)。3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态

18、矢量为其中，基态

19、0>满足b

20、0>=0,并且b和b+与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量

21、n>转换到坐标表象表达式

22、n>。4、设某系统的哈密顿算符为:H(t)=a1(t)J++a2(t)J0+a3(t)J－其中ai(t),i=1,2,3为任意时间t的函数，J+,J0,J－为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系:[J+,J－]=－2J0,[J0,J±]=±J±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C1(t)J+]exp[C2(t)J0]exp[C3(t)J－],并导出确定Ci(t)的方程.。5、已知算符b

23、和b+的对易关系为[b,b+]=1,在b+b对角表象的本征态矢量为且基态满足b

24、0>=0,引入算符b的本征态b

25、z>=z

26、z>试求归一化态矢量

27、z>在b+b对角表象的表示式,由基矢量组

28、z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量

29、n>在相干态表象的波函数6、题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。(ii)相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出式中，积分元由z=x+iyd2z=dxdy给出，证明过程中可以利用的公式有:(iii)不存在算符b+的本征右矢量。