资源描述：
《高等量子力学习题集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、1前言《高等量子力学》是物理学院原子分子物理和理论物理专业硕士研究生的一门学位专业基础理论课,在研究生的培养过程中具有重要作用.学生在学习《高等量子力学》的过程中,经常面临这样的问题:觉得老师在课堂上讲解的内容似乎都能听明白,但是,在遇到具体的有关量子力学的问题时,却往往感到无从下手.为了提高学生处理和解决问题的能力,我们根据授课教材，搜集整理了大量的习题及其解答，分章编成习题集，供学生参考。根据教学安排，每一章讲完后，可以从习题集中选择相应习题进行练习，对每一道习题都精心准备了较详细的参考答案和疑难点分析。本习题集中的习题大
2、致可分为三大类:第一类是对教材中没有给出详细推导的公式进行了推导;第二类是教材中基本理论的具体应用;第三类是对教材内容的推广和补充.本书可作为物理学院各专业硕士研究生学习《高等量子力学》课程的参考书,也是学生考取博士研究生必备的参考资料.由于我们的水平有限,书中难免有许多不当和不完善之处,恳请各位读者不吝赐教.王德华2011-5-6于鲁东大学2目录第一章量子力学的一般描述……………………...……………….4第二章运动方程与路径积分………………………………………35第三章角动量理论及量子体系的对称性………………………….62第
3、四章二次量子化………….…………………………………….….86第五章散射理论……………………………………………………..109第六章多粒子体系的近似处理方法…………………………….131第七章相对论量子力学……….…………………………………..146第八章量子信息论的物理基础……………………………………1583第一章量子力学的一般描述【1.1】若厄米算符H对任何态矢量a都有关系aHa≥0成立，则H是正定厄米算符。++如果F是一个线性算符，求证：FF是一个正定厄米算符；tr(FF)等于F在任何表象中+的矩阵元的模仿之和。试推导，
4、当且仅当F=0时，存在关系tr(FF)=0。【证明】因为+++(FF)=FF++按厄米算符定义A=A，可见FF是厄米算符。任取正交完备系{n}，则有++nFFn=∑nFmmFnm=∑mFn⋅mFnm2=∑mFn≥0m+所以FF是正定厄米算符。利用上面的结果同样给出++tr(FF)=∑nFFnn2=∑nFn≥0m+可见，当矩阵元mFn=0时，则tr(FF)=0；对所有的n成立mFn=0，则F=0【1.2】设a,β是两个有限模仿的矢量，求证+tr(aβ)=βa;(aβ)=βa【证明】（1）令p=βa任取正交完备系{}n，则有矩阵元
5、P=mPn=maβnm,n而tr(P)=∑Pn,n=∑naβnnn=∑βnna=βan利用了完备条件∑nn=1。n4（2）由算符性质+•ψAϕ=(φAψ)则+•ψ(aβ)φ=(φaβψ)••••=(φa)(βψ)=(βψ)(φa)ψβaφ+对任意态矢上式成立，则有(aβ)=βa。-1−1【1.3】设算符A存在逆算符A，试将算符(A−λB)展开成λ的幂级数（这里，λ是任意参数，B是任意算符）。−1【解】把(A−λB)展开，设∞−1n(A−λB)=∑λXnn=0这里X是待定算符，以(A−λB)左乘上式两端给出xn1=∑λ(A−λB
6、)Xnn=0∞n=AX0+∑λ(AXn−BXn−1)n=1"比较两边λ同次幂的系数，给出−1n=0,X=A0−1−1−1n=1,X=ABX=ABA10…………最后求出−1X=ABXn=1,2,3,Lnn−1这样有展开式x−1n(A−λB)=∑λXnn=0−1−1−12−1−1−1=A+λABA+λABABA+L5【1.4】求证关于算符的以下几个定理（1）若[]A,B=/0，a是一个实参量，求证aA−aAaA−aAneBe=(eBe)（2）在上述条件下，求证2aA−aA[]a[][]eBe=B+aA,B+A,A,B+2!3a[]
7、A,[]A,[]A,B+KK3!（3）设f(B)是算符B的函数，求证aAaAaA−aAef(B)e=f(eBe)【证明】（1）当n=1时，有aA−aAaA−aAeBe=eBeaA−aAnaA−aAaA−aA把乘积右端(eBe)展开成eBe的连乘积，并利用条件ee=1，得aA−aAnaA−aAaA−aAaA−aA(eBe)=eBeeBeLeBeaA−aAaAn−aA=eBBLBBe=eBeaA−aA（2）令F(a)=eBe，展开成a的幂级数公式，是n1∂F(a)nF(a)=a∑na=0n!∂a易求出展开系数分别为F(0)=B∂F
8、=(AF(a)−F(a)A=[]A,Ba=0a=0∂a2∂F=[]A,[]A,B2a=0∂a把以下展开系数代入级数式中，得到结论。特别当[A,B]=0，有结果是aA−aAeBe=Bxnn（3）令f(B)=∑CBn=06利用结论（1），有xaA−aAnaAn−aAef(B)e=
