量子力学习题集(NJU)

《量子力学习题集(NJU)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、课后作业作业一1.假设一维空间中运动的粒子可以用如下波函数描述，0,x<0;ψ(x)=Ae−x(1−e−x),x>0.(1)求归一化常数A。(2)计算该波函数在动量空间中的形式；(3)计算位置平均值⟨x^⟩和动量平均值⟨p^⟩，(4)计算粒子最可能出现的位置。参考答案：∫∞√()12−2x−2x−x2⟨ψ(x)

2、ψ(x)⟩=1=Ae1+e−2edx=A=⇒A=23.012∫√∞A−x−x−ikx61ϕ(k)=√e(1−e)edx=.2π0π(2−k2)+3ik∫∞2−2x−x213⟨x⟩=Ae(1−e)xdx=.012∫∫()∞[]∞∂[]2−x−x−x−x2−x−x−

3、x−x⟨p⟩=Ae(1−e)^pe(1−e)dx=Ae(1−e)−ihe(1−e)dx=000∂x∫∞611⟨p⟩=h⟨ϕ(k)

4、k

5、ϕ(k)⟩=hkdk=0.π−∞(2−k2)−3ik(2−k2)+3ik2()()d

6、ψ(x)

7、−2x−x−x=−2ee−12e−1=0=⇒x=0orx=ln2dxd2

8、ψ(x)

9、2()−2x−2x−x=2e8e−9e+2<0=⇒xm=ln2.dx2Note:∫∞[()]()1/2[22]222π−β(α−iγ)dxexp−αx+iβx+iγx=exp−∞α2+iγ4(α4+γ2)12.证明对于描述做一维运动的粒子的波函数ψ(x)，有∫+

10、∞⟨p^⟩dxj(x)=,−∞m其中，j(x)=ih(ψ∇ψ⋆−ψ⋆∇ψ)是几率流密度，⟨p^⟩是动量的期待值。2m参考答案：∫+∞∫+∞h∗∂∂∗dxj(x)=dx[ψ(x,t)ψ(x,t)−ψ(x,t)ψ(x,t)].−∞2im−∞∂x∂x利用分部积分，有∫+∞∂∗∗∞dxψ(x,t)ψ(x,t)=ψ(x,t)ψ(x,t)

11、−∞−∞∂x∫+∞∗∂−dxψ(x,t)ψ(x,t)−∞∂x∫+∞∗∂=−dxψ(x,t)ψ(x,t).−∞∂x因此，∫+∞∫+∞1∗∂⟨p^⟩dxj(x)=dxψ(x,t)(−ih)ψ(x,t)=.−∞m−∞∂xm3.设一维自由运动粒子（能量的

12、本征态为平面波）的初态（t=0）为ψ(x,0)=δ(x)，求ψ(x,t)。∫+∞2∫+∞2√π【提示：dxcos(αx)=dxsin(αx)=】−∞−∞2α参考答案：自由粒子的能量本征态为1ikxψk(x)=√e,2π其本征函数随时间演化为2−ihktϕk(x,t)=ϕk(x)e2m.∫⋆1ψ(k,0)=dxϕk(x)ψ(x,0)=√.2π∫∫21ikx−ihktψ(x,t)=dkψ(k,0)ϕk(x,t)=dke2m2π∫√()1mx2htmx2mmx2=ei2htdke−i2m(k−ht)=ei2ht−4.2π2πht2Note:∫∞[()]()1/2[2

13、2]222π−β(α−iγ)dxexp−αx+iβx+iγx=exp−∞α2+iγ4(α4+γ2)4.设粒子处于二维无限深势井中，0,0≤x≤a,0≤y≤b;V(x)=∞,其它情况.求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为ψ(x,y)=0.在势井内部，定态薛定谔方程为h2h2∂2∂22−∇ψ(x,y)=−(+)ψ(x,y)=Eψ(x,y).2µ2µ∂x2∂y2这里，µ为粒子质量。做变量分离ψ(x,y)=f(x)g(y),我们有1d22f(x)=−c,f(x)dx1d2g(y)=−

14、2µE+c,g(y)dy2h2其中，c>0。求解上面两个方程，我们有f(x)=α1eikxx+α2e−ikxx,g(y)=βeikyy+βe−ikyy,12其中，k2+k2=2µE。xyh2再利用边界条件f(0)=f(a)=0,g(0)=g(b)=0,(可以验证，若c<0，则无法满足以上边界条件。)有k=nπ,n=1,2,3,···,xak=mπ,m=1,2,3,···,yb3和f(x)=Asin(kxx),g(y)=Bsin(kyy).进行归一化后，有2nπxmπxψn,m(x,y)=√sin()sin().abab而本征能量为h2π2n2m2

15、En,m=(+).2µa2b2当a=b时，则本征能量为h2π222En,m=(n+m).2µa22h2π25h2π2基态能量为2µa2(n=1,m=1)，所以是非简并的；第一激发态的能量为2µa2(n=1,m=2或者n=2,m=1)，所以是二重简并的。5.粒子在如下一维无限深势井中运动，0,0≤x≤a;V(x)=∞,x<0,x>a.粒子的初始波函数为能量最低的两个定态的叠加iϕψ(x,t=0)=A[ψ1(x)+eψ2(x)],其中，ϕ为实常数。(1)将ψ(x,0)归一化；2(2)计算ψ(x,