量子力学习题集汇集

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1、第一章习题１．证明下列算符等式２．设粒子波函数为，求在范围内找到粒子的几率．３．在球坐标中，粒子波函数为，试求：１）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率；２）在方向的立体角中找到粒子的几率．４．已知力学量F的本征方程为　　求在状态波函数　　下测力学量F的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数已归一或不归一的情况）．第二章习题１．一粒子在二维势场　　　　　　　中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并？　　２．由哈密顿算符所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值．　３．利用递推关系证明并由此证明在态下第四章习题１．证明为和的共同本征态，并求相

2、应的本征值。说明当体系处在此状态时，没有确定值。２．对于一转动惯量为的平面转子，其能量算符为，求体系的能量本征态。如，求。３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成试求该对称陀螺的能量本征值。４．一质量为的粒子被限制在半径为和的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化本征函数。第五章习题１．为一角动量算符。试计算、、在的共同本征函数构成的表象中，的子空间的矩阵表示。２．已知体系的哈密顿量与另一力学量在能量表象中的表示为，时体系的态矢量为（1）求在及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。（2）时刻的态矢。（3）求该体系力学

3、量的可能值及几率和的平均值。（4）时体系在表象中的态矢。第六章习题１．设氢原子状态是(1)求和的平均值；(2)求总磁矩的分量的平均值（用玻尔磁子表示）．２．在表象下求解的本征值方程．在的本征矢测量有哪些可能值？这些可能值出现的几率及平均值．并求此状态在表象中的表示．３．和为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明，　如果定义总角动量，证明４．设、是与对易的任意矢量算符，证明第七章习题１．某物理体系由两个自旋的非全同粒子组成．已知粒子1处于的本征态，粒子2处于的本征态，求体系总自旋的可能测量值及相应的概率（取）．２．一个处于中心势的粒子具有轨道角动量和自旋．求

4、和形如的自旋－轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里是个常数．３．两个自旋的粒子组成的系统由等效Hamilton量描述，其中、是两个粒子的自旋，、是它们的分量，和为常数．求该Hamilton量的所有能级．４．两个无相互作用的粒子，质量相同为，处于一维无限深势阱中，势阱宽为，在阱中势为零，阱外势无穷大．(1)求系统四个最低能级的值是多少？(2)求这些能级的简并度，如果这两个粒子(ⅰ)是全同粒子，自旋为；(ⅱ)不是全同粒子，自旋都为；(ⅲ)全同粒子，自旋为1．５．固定在轴上的两个电子间存在一个磁偶极－偶极相互作用能，为Pauli矩阵，为常数（令）．(1)用

5、总自旋算子表示．(2)求的本征值和简并度．6．某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：，，，，其中．两个没有相互作用的粒子置于该势阱中．对下列(1)，(2)，(3)各种情形写下：两粒子体系可能达到的两个最低能级；上述两个能级各自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用表示空间部分，表示自旋部分，是总自旋）．(1)两个自旋为的可区分粒子．(2)两个自旋为的全同粒子．(3)两个自旋为0的全同粒子．第八章习题１．设一粒子作简谐振动，其哈密顿量，受微扰作用（）。试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较。２．一个二维各向同性谐振子，质量为，

6、频率为。在加入微扰（为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。３．设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为其中、为实数。求（1）用微扰公式求能量至二级修正值。（2）直接求能量，并与（1）所得结果比较。总复习题1.试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质.2.某一角动量算符满足如果定义：J+=Jx+iJy,J-=Jx-iJy试证明：(1);(2)3.已知一厄密算符在正交归一基矢张成的三维空间中取如下矩阵形式求其本征值和本征矢.4.实际氦原子的基态当然是非简并的。但是，考虑一假想的氦原子，其中两个带负电的，自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子。对这种

7、假想的氦原子，问其基态的简并度是多少？给出你的理由（忽略与自旋有关的作用）。5．试写出一被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。6．对于坐标x构成算符(1)证明它是厄密算符；(2)求出它在坐标、动量表象中的表示。7．有一在势作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为式中为其归一化的本征函数，相应的本征值为(1)求这一时刻的能量平均值；(2)求这一时刻的位置平均值；(3)过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化？为什么？8．有一三电子系统，电子有三种可能的轨道态，，和两种自旋态，。则系统的反对称波函数的数目是多少？并举出两个具

8、体例子。9．已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为　(1)求体系能量本征值及归一化本征矢；