量子力学习题集及答案

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1、09光信息量子力学习题集一、填空题1．设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（6.125）。2．索末菲的量子化条件为（），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级（）。3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（）和（）。4．三维空间自由粒子的归一化波函数为=（），（）。5．动量算符的归一化本征态（），（）。6．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（）。7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（），几率流密度=（）。8．设描写粒子的状态，是（粒子的几率密度）

2、，在中的平均值为=（）。9．波函数和是描写（同一）状态，中的称为（相因子），不影响波函数的归一化，因为（）。10．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。11．是定态的条件是（），这时几率密度和（几率密度）都与时间无关。12．（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。13．（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。14．3．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（）。15．粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（），第一激发态的波函数为（

3、）。16．基态是指（能量最低12/13）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（）。1．一维线性谐振子的第一激发态的能量为（）、第一激发态的波函数为（）。2．（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（n2）。3．一维无限深势阱第n个能级的简并度为（1），不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（n2）。4．一维线性谐振子第n个能级的简并度为（1），考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为（2n2）。5．氢原子的状态为，角动量平方是（）、角动量分量是（）。6．厄密算符的定义

4、是：对于两任意函数和,等式（）成立。7．力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。8．力学量算符的属于（不同本征值）的本征函数必相互（正交）。9．量子力学中，力学量算符都是（厄米）算符，力学量算符的本征函数组成（完全）系。10．算符在其自身表象中的矩阵为（对角）矩阵，例如在表象中=（）。11．如果[]=0，则存在组成（完全）系的共同本征态，的共同本征态是（）。12．如果存在有组成（完全）系的共同本征态，则[]=（0），的共同本征态是（）。13．对易子（），（）。14．（），（），（）。15．（）

5、。（），（0）。16．能量与时间的测不准关系是（），和的测不准关系是（）。17．在一维情况下，若粒子处于状态中，则在动量表象中的波函数为（）。18．一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中一维线性谐振子的波函数为=（12/13（0，0，3/5，0，-4/5，0,…））。1．斯特恩—革拉赫证实电子具有（自旋）角动量，它在任何方向上投影只能取两个值（）和（）。2．=（），=（）。3．=（0），[]=（0）。4．在表象中，粒子处在自旋态中，=（）。5．在表象中，粒子处在自旋态中，=（）。6．在表象中，，则在状态中，=（）。7．全同性原理

6、的内容是：（在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变）。8．泡里原理的内容是：（不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态）。9．描写电子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而电子体系的自旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。10．电子是（费密）子，服从（费密-狄拉克）统计，描写电子体系的波函数只能是（反对称）波函数。11．描写玻色子体系的波函数只能是（对称）波函数，而玻色子体系的自旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。12．描写费密子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而费密子体系的自旋波函数则可以是（对称）

7、或者（反对称）的。13．光子是（玻色）子，服从（玻色-爱因斯坦）统计，描写光子体系的波函数只能是（对称）波函数。――――――――――――――――――――――――――――――二、计算、证明题1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.解：当当令得，12/132．一粒子在一为势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。解：令则3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一化）。{提示：在态中}解：当当令得有限，12/134．粒子在一维势场中运动，试

8、从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。解：1．当当令得，5．利用力学量算符本征函数的正交归一完全性，证明式中，为本征值。解：==6．求证：如果算符和有一组共同本征态，而且组成完全系