高等量子力学 课件

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1、第一章：线性空间知识§1矢量空间§2算符§3本征矢量和本征值§4表象理论§5矢量空间的直和与直积§1矢量空间§1-1定义•数学对象：实数（复数）、有序的一组数、有方向的线段，一种抽象的东西•对于无穷多个同类的数学对象的集合，定义如下三种运算1.加法：2.数乘：3.内积：•满足1和2的集合—矢量空间（线性空间）•满足1、2、3的集合—内积空间•完全的内积空间—希尔伯特空间§1-1定义•数学对象：实数（复数）、有序的一组数、有方向的线段，一种抽象的东西•对于无穷多个同类的数学对象的集合，定义如下三种运算1.加法：2.数乘：3.

2、内积：•满足1和2的集合—矢量空间（线性空间）•满足1、2、3的集合—内积空间•完全的内积空间—希尔伯特空间1.1=§1-1定义2.(a)b=(ab)•数学对象：实数（复数）、有序的一组数、3.(a+b)=a+b有方向的线段，一种抽象的东西•对于无穷多个同类的数学对象的4.(+')a=集合a+，定义'a如下三种运算1.加法：2.数乘：3.内积：•满足1和2的集合—矢量空间（线性空间）•满足1、2、3的集合—内积空间•完全的内积空间—希尔伯特空间1.1=§1-1定义2.(a)b=(ab)•数学对象：实数（复数）、有序的一组数

3、、3.(a+b)=a+b有方向的线段，一种抽象的东西•对于无穷多个同类的数学对象的4.(+')a=集合a+，定义'a如下三种运算1.(,')=(',)⇤1.加法：2.数乘：2.(,'+)=(,')+(,)3.内积：3.(,'a)=(,')a•满足1和2的集合—矢量空间（线性空间）4.(,)0•满足1、2、3的集合—内积空间•完全的内积空间—希尔伯特空间空间的完全性•空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列的极限必须也在此空间中。量子力学的空间•复数域上的希尔伯特空间•向量：线性空间中的元素§1-2正交性和模•两个矢量

4、正交：两个矢量的内积为零!(,')=0!•模方：!!•两个关系：–Schwartz不等式

5、(,')

6、

7、

8、·

9、'

10、–三角形不等式

11、+'

12、

13、

14、+

15、'

16、§1-3基矢•线性无关：一组向量，用任何为零系数做成的线性组合都不为零•完全集：一个线性空间中的集合，空间中的每个矢量都能表为完全集中的矢量的线性叠加–有限维空间中各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的（定理）•矢量空间的维数：完全集中矢量的数目•基矢：正交归一的完全集构成一组基矢—Schmidt正交化方法§1-4子空间•一个矢量空间R，若其中的一个矢量的集合S在原空间定义

17、的运算下又构成一个矢量空间，则称S为R的子空间，R-S称为S的补空间§1-5左矢和右矢•两个矢量的内积与矢量的顺序有关!(,')!–内积对左因子是非线性的，对右因子是线性的!•狄拉克记号：左矢和右矢!h

18、

19、'i!•左矢空间和右矢空间§2算符§2-1定义•算符：两个矢量间的一种对应关系!

20、'i=A

21、i!•线性算符：定义域为矢量空间，且满足如下条件A(

22、i+

23、'i)=A

24、i+A

25、'iA(

26、ia)=(A

27、i)a§2-1定义•算符：两个矢量间的一种对应关系!

28、'i=A

29、i!•反线性算符：定义域为矢量空间，且满足如下条件A(

30、i+

31、

32、'i)=A

33、i+A

34、'i⇤A(

35、ia)=(A

36、i)a§2-1定义•零算符O

37、i=

38、0i•单位算符I

39、i=

40、i•算符的和A+B•算符的乘积AB•算符的对易关系[A,B]=ABBA•服从加、减、乘和幂次的代数关系•逆算符A

41、i=

42、'iA1

43、'i=

44、i§2-2作用于左矢的算符•右矢空间的每一个算符A，都对应左矢空间的某一个算符A+，称为A的伴算符!†'i=A

45、i!h'

46、=h

47、A!•为了让算符即可作用在左矢也可作用在右矢，定义：††h'

48、(A

49、i)=(h'

50、A)

51、i(h'

52、B)

53、i=h'

54、(B

55、i)§2-3厄米算符和幺正算符•

56、厄米算符：!†A=A!–充分必要条件：对定义域中的所有矢量满足h

57、A

58、i=Real§2-3厄米算符和幺正算符•幺正算符：!A†=A1!–定理1：在矢量空间中，若

59、i＞是一组基矢，则U

60、i>也是一组基矢–定理2：若

61、i>和

62、j>是同一空间的两组基矢，则两者必能由一个幺正算符联系起来§2-3厄米算符和幺正算符•幺正变换：–假设有一个算符A!A

63、i=

64、'i!–假设有一个幺正算符U,在其作用下!00

65、i=U

66、i

67、'i=U

68、'i!–算符A0=UAU1§2-4投影算符•一类特殊的算符

69、ih'

70、!!•投影算符Pi=

71、⌫iih⌫i

72、!

73、!•整个空间的投影算符和完全性关系X

74、⌫iih⌫i

75、=Ii§3本征矢量和本征值§3-1定义•对于算符A,若有非零矢量满足!A

76、i=a

77、i!•厄米算符的本征值问题：–厄米算符的本征值为实数–厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交–算符A的属于同一个本征值a的本征矢量全体构成希尔伯特空间中的一个子空间