高等量子力学练习课件.ppt

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1、练习3.5在有限维空间中，有A，B两个相互对易的厄米算符。他们的全部线性无关的正交归一化矢量组分别为和：分别为本征值和的简并度（它们也可以等于1）。（1）证明是A和B的共同本征矢量。它们是否归一化？彼此是否正交？（2）全部不为零的的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？虽然定理：当且仅当两个厄米算符互相对易时他们有一组共同的本征矢量完全集。但不一定说：就是(A,B)的一组共同本征矢量（除非非简并）或：就是(A,B)的一组共同本征矢量（除非非简并）例:对n=4维空间非简并非简并（简并）本征子空间(xoy

2、)（简并）本征子空间(zox)非简并非简并zyxozyxo取法，（或）是A,B的共同本征矢取法，（或）都不是A,B的共同本征矢（1）是B的本征矢数zyxozyxo投影1个且归一化投影2个且归一化oxoyoz非简并简并oxyz本征子空间投影得到共3个投影得到共6个zyxozyxoyxozo简并oxy本征子空间投影则3个线性相关不一定归一化取2个线性无关多出1个投影则3个线性相关不一定归一化取1个线性无关多出2个证明是A,B的共同本征矢证也是A的本征矢Proof:数0下一步要证（对任意j）是B对应不同本征值的本

3、征矢它们线性无关，关于j正交则同（）矛盾，这种情况不可取②=0符合（）证组成完备系由的完备性，任一可按其展开，由的完备性，每一又可按展开，于是有即任意可表为的迭加，这就证明了的完备性。对不同的j或i，彼此正交，但对不同的则可能线性相关。此外，它也并未归一化。全部不为0的的总数至少m个，超过m个肯定是线性相关，反之是m个，则线性无关。是幺正算符因此矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。注：算符的表象变换是一种相似变换。若A、B二矩阵相似，则附：练习4.5在三维空间中，有矩阵A和B：（1）证

4、明A和B均为厄米矩阵，而且；（2）分别求A和B的本征值和本征矢量；（3）求A和B两算符的（归一化的）共同本征矢量集；（4）求能使A和B都对角化的的幺正变换矩阵U；（5）用U将A和B对角化。答案（1）证，略（2）A本征值本征矢B本征值本征矢12()8()0()-2()2()()2维简并子空间0-22()非正交正交（二重简并）（3）8122A和B的共同本征矢量集(4)代数余子式:显然可验证:M的伴随方阵或附加方阵(5)