高等量子力学-第二章-算符课件.ppt

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1、§2算符§2-1定义主要内容：§2-2算符的代数运算§2-3作用于左矢的算符§2-4厄米算符和幺正算符§2-5投影算符算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。§2-1定义在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的，称为线性算符：(2.1)满足下列二条件的，称为反线性算符：(2.2)其中a是任意常数。在量

2、子力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面我们只讨论线性算符。算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）中每个右矢的作用结果即可。线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的一个子空间。可以证明，线性算符具有下列性质：（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。（2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数。（3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢

3、全体，也构成一个右矢空间（定义域的子空间）。复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：其中两个特殊的算符：这时我们记作则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。定义：(2.2)经常使用的几个对易关系：由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：等等。可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以写(2.3)注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：

4、定理设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个线性算符B和C存在，满足AB=1,CA=1(2.4)则算符A有逆，而且证明:我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。定理证毕。§2-2算符的代数运算在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。（2.5）………………..………………….例1：证明：（2.8）证明：用数学归纳法证明，当n=1时上式为原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子。将原式从左方用A作用，得在上式右边第二个取

5、和式中，取j=i+1，得将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成立，因此，原式对任何整数n都成立。证毕。例2：证明：（2.9）这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。证明：利用(2.8)式，有为证明（2.9）式可取这时例5：证明Glauber公式：（2.14）证明：令令§2-3作用于左矢的算符我们在右矢空间中定义了算符A：（2.17）注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。右矢空间左矢空间（2.19）（2.20）将（2.2

6、0）式用于右矢空间的算符B：（2.21）现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间，而算符是两个空间公用的。算符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢。算符的这种既能向左，又能向右作用的性质，是对偶空间优于单一空间的主要之点。证明：定理的必要性是明显的，我们证明其充分性。（2.22）（2.23）定理证毕。第6节最后，简单的提一下单一空间的情况。由于单一空间是右矢空间的复制品，除了内积的说法稍加改变以外，单一空间的事情与右矢空间的事情完全一样。但这里伴算符的引入是在左右矢两空间进行的，在单一空间情况下，要作一点改变。(2.24)单一空间的伴算符：§2-4厄米算符和幺正算符一、厄米算符

7、若算符满足则称Ｈ为厄米算符或自伴算符．证明：因此二、等距算符和幺正算符定理以下三个命题是等价的：（1）（2）（3）下面的定理指出了等距算符的主要性质。证明：我们依次证明前一条是后一条的充分条件。这就是（2）。已知有　　　　　　　　，从而有于是得这就是（1）。证毕。幺正算符是满足以下条件的算符：（2.26）幺正算符一定是等距算符，因此有上面定理中指出的性质。幺正算符在讨论两组基矢的关系时起重要作用。下面给出两条有关的定理。证明：证明一组矢量是基矢，只须证明它是正交归一化的，并且是完全的即可。首先有由此得(