量子力学之算符.ppt

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1、算符的一般特性（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显

2、然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭

3、动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：（6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。

4、返回（7）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（9

5、）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中（8）算符函数利用波函数标准条件:当

6、x

7、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（10）转置算符(11)厄密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+

8、Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。返回定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：证：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1、ψ2也是任意态的波函数，c是任意常数。（一）厄密算符的平均值因为对任意波函数左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相减得：所得二式正是

9、厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量F所得结果是唯一确定的，即：则称这种状态为力学量F的本征态。可把常数记为Fn，把状态记为ψn，于是得：其中Fn,ψn分别称为算符F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。（二）厄密算符的本征方程定理I

10、I：厄密算符的本征值必为实。当体系处于F的本征态ψn时，则每次测量结果都是Fn。由本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下证（3）量子力学基本假定III根据定理I(I)量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的(如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II)测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符F的本征值Fn（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符F的