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1、高等量子力学习题第第第一一一章章章1.对于哈密顿量不显含时间与磁场的体系,证明在具有分立的能量本征值的定态中,动量的平均值等于零.2.厄密算符平方的平均值是非负的,请证明之.3.试在动量表象中表示出算符1,在坐标表象中表示出1.rp4.试在一维体系的”x表象”中表示出算符1,在”p表象”中表示出算符1pxxx5.对于坐标算符的完备组,请通过具体计算证明满足正交归一完备条件:X()(0)=( 0)6.对于动量算符的完备组,请通过具体计算证明满足正交归一完备条件.7.请证明对于氢原子体系(不计及自旋),对于(Hˆ;Jˆ2;J)的所有束缚态本征函数,它们不满足完z备性条件:X()(
2、0)=( 0)nnn而谐振子体系的本征函数满足完备性条件.8.若取(Lˆ2;L),ei~p~x=~,对于三维的自由粒子体系,请找出状态在表象中的波函数.z第第第二二二章章章第第第三三三章章章1.借助动量表象求出坐标和动量算符的基本公式.(可参阅教材P43)@g(~n;)2.计算[@]=0;验证以下公式:@g(~n;)[ˆrk;nJˆk]=i~[]=0rˆk;@可取~n=z轴.(可参阅教材P47).3.根据角动量算符的表达式证明:单粒子的坐标本征态j~r>在空间转动g时变为jg~r>.14.同题3,证明单粒子的动量本征态j~p>在空间转动g时变为jg~p>.5.推导
3、Pauli方程.教材中P52中Eq(76)-(79).6.令xˆ;pˆ分别为坐标和动量算符.算符aˆ;aˆ+定义如下:8>>1i>>>>aˆ=(xˆ+pˆ)<2~>>(1)>>>>aˆ+=1(xˆ ipˆ):2~是使xˆ的维度为零的正常数.(a)证明[ˆa;aˆ+]=1(b)构造粒子数算符nˆ=aˆ+aˆ的本征态,求出本征值;(c)计算[ˆn;aˆ];[ˆn;aˆ+];(d)证明:ˆa+aˆ是代表单粒子(无自旋)一维运动的完整力学量;(f)教材P61中有一重要错误,请找出并更正.(参阅教材第三章第5节)7.接题6讨论,(a).求出粒子数算符nˆ的本征态在动量表象中的波函数;(b).计算xˆ2;
4、xˆ4;pˆ2;pˆ4在态jn>下的平均值;(c).计算非对角矩阵元:;:8.对一维无自旋转子体系作量子化.已知经典转子拉氏量为L=I ˙2,其中I为转动惯2量, 为分位角.取 为正则坐标,(a).求出相应的正则动量,写出经典哈密顿量;(b).利用一般的量子化方案,写出正则动量和正则坐标的算符;(c).写出哈密顿量算符;(d).写出量子条件;(e).写出对应的薛定谔方程;(f).利用周期性边条件求出动量算符和哈密顿算符的本征态;(g).对于 表象的波函数( ),试问 ( )是否一定为该系统波函数空间的波函数?(请参阅教材P77)9.对单摆的小角度
5、摆动的情形,写出拉氏量以及哈密顿量.在摆角!0时,把体系约化为类似于谐振子运动的情形.(a).把取为正则坐标,写出正则动量;(b).按照一般的量子化方案,对该一维体系量子化,求出正则动量算符在ˆ表象的算符,写出Hˆ;(c).求解相应的SchrodingerEquation,给出表象的本征函数与本征值.10.求出海森堡表象中自由粒子的坐标算符.11.试证明在分立谱的定态中,不显含时间的物理量对时间导数的平均值为零.2第第第四四四章章章1.选单粒子完备波函数为nlmms,正交归一条件为=ii0(i为nlmms的缩写).lm为轨道角动量及投影的量子数,ms
6、为自旋投影,n为径向波函数的量子数.试用相应于(nlmm)的产生,消灭算符写出轨道角动量的~L2以及L.sz02.选单体完备波函数为~pms,满足<~pmsj~p0m0s>=msm0s(~p ~p)~p为动量本征值,ms为自旋投影,试用相应于(~p;ms)的产生消灭算符写出动量以及动能算符.3.设N1N2(1;2;3)是三个相同波色子对称归一波函数.N1=2是1上的粒子数,N2=1是2上的粒子数.试证明单体型算符F在此波函数下的平均值为2<1jfj1>+<2jfj2>.4.用二次量子化方法解问题3.5.设jN1;N2:::>代表N个相同玻色子的归一态矢量,Ni是i上的粒子数.试用二次
7、量子化方法求下列平均值的表达式:(i)单体型;(ii)(双体型).6.用二次量子化方法求N个相同玻色子如下矩阵元的表达式:(i).(N>2;N1>1);(ii).(N1>1;N2>
