《量子力学》自学辅导 09 定态微扰论和变分法(续)new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com劲桶第l3卷第8期Vo1．13No-81994年8月CoLLEGEPHYSICSAug．]994子力学》自学辅导之九——定态微扰论和变分法(续)、／首心愉”宋宇辰裴文杰’)(1懂旦大学物理系：2)复旦大学理论物理骨干教师班1．2简并态擞扰论(3)零级近似波函数．从久期方程解出E’后，简并态下，镦扰的作用可能使能级发生分裂，即把每一个分别代人方程组(20)中，解出c。’卜一傲扰可使简并消除或部黼除．般只能解出c之间的相互比例，要归一化后才能确(1)零级近似．设青m的某个能级：是七度简

2、定cf10再把cI(o代人’=∑cf。中，即得出J并的对应这个根的零级近似渡函数．对应于k个不等直0I2一(17)的这样的方程组要解组．徽扰加人后，薛定谔方程成为但若有只埘=0(m≠)，即非对角元素全为零(+矗)=乓(18)显见”=，，⋯，日．这样求得的零级近赴I即使只考虑零级近似，渡函数’也不一定是原来的渡函数只能是。=’．这种情况可按非简并处理．’而可能成为那些简并本征态的线性组台氢原子的一级斯塔克效应是一个重要的典型倒子．，我们这里只举出一个特殊情况．’=∑cl(0(饲置5一个平面转子可在x-y平面内转动i=1设其转动惯量

3、为，，电偶极矩为D．求(1】转子的本征简并态镟扰论中确定零级渡函数是重要的一步．值和本征函数：(2)若方向加一个均匀弱电场，求f2)一级掺正．把(19)代人(8)式，得能级和本征函数．(m’一巨)=。】∑C．t。一∑c‘一IfI解(I)自由转子动能为=—鲁}，所以以’‘左乘两边后对空间积分．利用直’的厄密性及j的正交归一性，可得一吾鲁，一吾鲁‰r—～一∑僻一’-0r=I、2⋯··(20)解得97√击，。鲁，m0，±1，±2，．-式中日I日曲【2l】除基态外，所有能级都是二重简并的．m>0代表逆时J针的正向转动态；m<0代表顺时针

4、的反向转动态．注意：这个矩阵元是个简并本征态所构成的．(20)(2)外加电场E转子得到附加势能作为徽扰式为非零解的条件为H一D．庐一D＆os=+C-坤)IH1一”，日，⋯，日Il，一，⋯HI=0(22)对于的两个简并态和，简并徽扰矩阵元都为零l．，⋯，一”lH=一H一日⋯0这个久期方程是能量一级修正值”的次代数方程．故不构成新的零级波函数．与即为零级近似原则上可解出个根：O=1，2，⋯，七)．所以简渡函数．本题可用非简并澈扰论处理．因为并情况下能级的一级近似为E=E+E、(23、一TDE击Ic+e-i~)若个根各不相等，则简并能

5、级E分裂成个简并完全消除．若’的个根中仍有几个重根，则一百DEc叫简并只是部分消除．46维普资讯http://www.cqvip.com=∑n=∑lanl(27)舢根据咖=可知不为零的任意态中疗的平均值与的本征值联系起来了．O)提示：考虑的基态能量岛，因昂<≥1)．矩阵元只能是rtl~Pi一1和t~／=~-t-1．则应有．=一百DE．2=一÷眦=百≥砸Ia．F=岛R所以”=二=0r即I’商t≥岛Q8)J=糕+魁可见，用任意渡函数廿算出的的平均值总是大于体系的基态能量，只有恰好是体系基态函数0时．的平均值才等于基态能量且．这无疑是

6、在提示我们：=一簪(I两一丽)』如何恰当地去选择渡函数，使其计算出的的平均值达到最小值．那么这个渡函数就最接近于基态渡函数，=·击4n‘一1、_+1除。外J这个平均值也最接近于基态能量．(4J实际计算(授值法)：①选取含有参量i的尝试渡函数)，代人=+的平均值公式．算出带有参量^的能量平均值日nJ；@利用．曼=0．得到使“)最小的^值；孚(+)0^@把^代人nJ，即得，代人(r，^J，即得0(，)．，+半(鼎一剡倒置6若设=c一旷(1>0J作为渡函数，以^为参量，用变分法求氢原子的基态能量．[+半(音一剡解首先归一化，利用注意：

7、若考虑空间转子，则=￡／2，，即把三的奉征值殛本征函数除以21后即可使用．Jf．rUe一：十。o2变分法量子力学中．基态的计算有着特殊的重要性，变有：JI0cc==(、音一。，1分洼主要解决基态艟级与渡函数的同题，=(‘(1)问置：不管疗的奉征方程是否艟严格求解，原劓上总是存在一组本征值和本征函数．设其为分矗：一姜一立(对基态只有，分量作用)立谱．剜记为“，』I岛，Ej-E2·⋯-，⋯l∞J。，，，⋯．，⋯J丢．；r鲁一手并且=E(25)不要把与误认为是各级修正．乜)我们先不去讨论的本征函数，而假设一=’出个任意渡函数，剜应有=

8、．∑n乜6J如一士丢．；r鲁一丹舟r在这个假设态中，体系的能量平均值百=I’=∑EIr一d，：47维普资讯http://www.cqvip.com第l3卷第8期算锋VOJ￡3NO81994年8月AuE．1994恒定均匀磁场中的带电粒子一个经典问题的算符解法耳Ra