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《量子力学_自学辅导之九_定态微扰论和变分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第卷第期大学物理年月《量子力学》自学辅导之九一一定态微扰论和变分法曾,二愉’宋宇辰装文杰复旦大学物理系复旦大学理论物理骨干教师班,上海量子体系的哈密顿算符不是时间的显函易附,通常时,受扰后的能级和波函数以又的幂级数展开,,’’’二只需求解定态薛定愕方程讨论定态波函数但是瓦衅又叨护邱,夕气了、亡、少,必,一’,’十’⋯除了少数特例外定态薛定愕方程很难严格求解这衅神二净犷就使近似方法在量子力学中显得非常重要本讲介绍衅’与价份’称为零级近似能量和零级近似波函数,两种应用最广的近似方法微扰论和变分法微扰论’是各种,是未受微扰时衅的本征能量和本征函数也是我们
2、量子力学近似方法中最基本的一种它的许多求解微扰问题必需的基本条件以后各项按又的幂次称结果几乎成为量子力学理论的组成部分这部分也是为一级修正、二级修正、⋯我们学习的重点变分法则特别适用于研究体系的基、,,把式代入薛定愕方程中得到以又的态变分法可以和微扰论配合使用得出精确度较高幂次区别的一系列方程的结果,‘,一石。,‘,一。穿聋哈定态微扰论、“,’一’沙二,’匆肆,’一,’价织,‘求解定态薛定愕方程一穿嵘又‘’’一’必舒’必五必砂衅一,’一,’,’,’’时,若可以把不显含时间的分为大、小两部分穿瓦少二可沙织‘,,户一户方分户,求解以上方程便可得能量和波
3、函数的一级修正二级、·”‘”其中穿“’的本征值’和本征函数沙’是可以精修正衅织确求解的,或已有确定的结果各级修正公式、’零级近似从式可见零级近似即为’必丫,价护,一,少织,衅护蹭,’’‘很小,常一级修正首先把试用价护展开称为加在丫上的微扰有时,’二‘,’,为了表达这种微扰的程度,常引人一个很小的数七少艺今价,‘又微扰写成又方表求和项中不含二。项这是因为价织’附加在艺代,下面以分立谱为例分两种情况讨论,’上仍为式的解代,试人式得非简并态微扰论’“’””’一’‘””’一’’一‘’艺耳可叫肆艺司叫刁价护少护微扰对非简并态的影响“’’,。。非简并态指的是穿
4、的每一个本征值衅只有两边同乘以沙护’并对空间积分注意尹及价的一个本征函数沙’与之对应当加上微扰‘。,正交归一性,得出织方时方能量的一级修正为“,,’。,’。,,·‘分方所以衅沙织价即微扰的、一织叻护一坑一“’出现使能级和波函数发生变化介“。,,微扰的基本思想,就是以逐步近似的精神求两边同乘沙碧’尹并对空间积分可得,解薛定当一·愕方程因此、、、公碧价织一‘。,义‘一方斤方丁定义一一·兰、留伪护令,称为微扰矩阵元它是微扰计算中的核心也是微扰二子,又其中心《试用微扰论公式求基态能兀。计算中的难点这样定义之后,有量’一“解因为佘澎,”一·。一一一‘一·“代
5、回式得波函数的一级修正为孚令加”一’哥哥了“菩畔俞‘矛代入式贝方二级修正设岭’一’砰’衅’,一令耳由”决定的基态能量与波函数为用同样的代算方式可得能量的二级修正玲’一‘嵘’’一‘。一一,一菩呱菩争份音十丢杰爵一丁所以基态能量的一级修正为犷艳“一,一、协踢一斋一。介阪斤最后写成一粤一尼军艺’下十⋯风二’盏蹭氏菩瓮踢基态能量的一级近似·‘,。、二一左。一。二一左。。劝开心斌弓。一’‘’一又’价衅艺了’十“域嵘却秒御例题假设氢原子核不是点电荷,而是半径说明①利用必护’求微扰矩阵元氏,时,要“对为的带电球壳这时·一月一,号如。下伍一心‘妙“焦袋毒生一弓一任
6、丁其中取和指的是艺箭畴一事毒计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正拜,⋯解当丫刀左一子时矛淤、,一一②要充分利用钓对称性,以减少计算量韵③在有些问题中叨’一。‘为零,这时有必像‘,要计算能量的二级修正值若万汕尹。一级修正已一·故“”一心、。,令够用至于沙一般求和项不可能全为零故沙公’护。抓青所以一级修正即可以了关于微扰论的适用范围二,一一名甚丝「褚一、、、微扰公式成立的条件应为。耳。二,一,《或,一」氏认蹭嵘氏,衅蹭一。一、。茸一止,一、两点说明一是要求微扰本身应很小二是要求能级’一’较大但这二者是相对的间差距衅礁,一为减少积分中的麻烦估计一下匈的
7、数量级请大家考虑氢原子问题能否应用微扰公式计算一一,一’,一一一故,一例题设氢原子中价电子所受有效作用势为之一一音合一音衅州卜荟小麟司一砂静十兰谦丁一一一’呵朵锹箭叫割枷夸习兴片一一黔若氢原子核是半径为的电荷均匀分布的球,则呵奥票、一厂爷兰、〕叹,,业嘉尸二、一‘一万一万牙。,育戈二夕匹奋卜叫微扰惋为多少此问题可通过对而的变换精确求解‘·例题一维线性谐振子受到微扰又。’,,知尸“田尸。矛。《试用微扰论方法求能级与波函数一左合一合冬‘修正值。,尸,“,‘合解能量的一级修正‘一。。。一。,,一。一户,。一。,。一二,一。茶冬、石不丁,赚粤‘拜‘‘能量由
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