正项级数的拉阿贝对数判别法

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1、万方数据Vok10，No．3高等数学研究May．，2007STUDIES1NCOLLEGEMATHEMATICS7正项级数的Raabe对数判别法+姬，j、龙王锐利(济源职业技术学院河南济源454650)摘要在正项级数敛散性Raabe判别法和第一对数判别法的基础上，以P一级数作为比较标准，讨论了第二对数判别法，并且证明了Raabe判别法和第二对数判别法的等价性．关键词正项级数Raabe判别法对数判别法等价性中图分类号0173．11．引青在正项级数判别法中，文[1]中以P一级数作为比较标准，给出了著名的Raabe判别法：(Raabe判别法Ⅲ)设∑口

2、。为正项级数(口。>o)，且未=l+÷+。(÷)，(肛∞)．则(1)当z>1时，级数∑口。收敛；(2)当1<1时，级数∑口。发散．文[2]中以P一级数作为比较标准，给出了对数判别法：(第一对数判别法㈨)设∑口。为正项级数(Ⅱ。>o)，_l；[，l—im。堕告导=2．则(1)当1>1时，级数∑口。收敛；(2】当l<1时，级数∑口。发散．第一对数判别法在解决幂指函数型级数∑u(n)“曲的敛散性时是比较方便的，文[4]给出的审敛法(原文‘43中定理I)实质上是第一对数判别法．本文的工作是，继续以P一二级数作为比较标准，给出另一种形式的对数判别法，将其

3、称为第二对数判别法．并且首次证明了Raabe判别法和第二对数判别法的等价性．我们有如下定理：定理1(第二对数判别法)设∑口n为正项级数(口n>o)，J；[。l—im。耐n未2z：则(1)当1>1时，级数∑口。收敛；(2)当l<1时，级数∑o。发散．2．几个引理引理1当并>o，有不等式：r乞

4、改革研究项目(06102471)万方数据8高等数学研究2007年5月也就是说，当菇>o，时，有r乞I时收敛；当p<1时发散．引理3㈨设级数∑口。和∑b。为正项级数(Ⅱ。>o，b。>o)，存在正整数N，当n>N，满足不等式：口。+1／a。≤6。+1／b。，则(1)如果∑b。收敛，则∑an收敛；(2)如果∑口。发散，则∑b。发散．引理3是正项级数的比较判别法的变形，证明从略．3．定理1的证明(1)当l>1时，则存在p>1，使z>p>1，眭llimnln-an=l知，对s=l—P>0存在正整数Ⅳ，使得当

5、n>Ⅳ时，有nan几。+。>z一(z—p)=p，即a．／口。+。>epla,由数列{(1+去)“)单调递增且趋于e知对一切正整数n有(1+上)nⅣ时有石ait>[(1+÷)“]肌=(1+寺)9铮等<(了旨)’=石{可_／砉·而级数∑了1当P>l时收敛，t．友由弓lN3知当f>l时，级数∑a。收敛．(2)当l<1时，存在正数P1，P2，使l0存在“-．∞Ⅱn+l正整数Nl，使得当n>Ⅳ1时，有na。／a蒯

6、+上)“=e知，存在正整数婀，使得当n>Ⅳ2时，e，<(1+÷)“．取N=max{Ⅳl，Ⅳ2}，则当n—●∞，L¨on>Iv时有尝<扩

7、生n+l=l+÷+。(÷)，(n一∞)·n一∞“^‘1，DJ‘证明(充分性)若旦：l+三+o(上)，(n一∞)．由引理1有i—鲦<·n：兰j：，nc，+j}+。c寺，，<三+。(上)，(n．∞)n万方数据第lO卷第3期姬小龙，王锐利：正项级数的Raabe对数判别法9j二耸川n旦<2+加(旦)’(n．乩j__!_iii<以n蔷<2_加‘石几∽’∞L对上式取极限，可得limnln量=1．n一。口n+1(必要性)若limnln兰：z，有nln兰：l+占。，(占。--d)，，l一∞)，于是有n_．∞口n+1on+1ln去1=上／7,+鲁，(s。一o，n

8、一∞)，j丢1=exp(÷+鲁)，(占。-+o，n_+∞)，on+n口n+n。1．．ira。n(未一l’)=。lim。[exp(÷+鲁)一1]／÷=。