正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用_李亚兰

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1、第２７卷第４期大学数学Ｖｏｌ．２７，№．４２０１１年８月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｕｇ．２０１１正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用李亚兰（仲恺农业工程学院计算科学系，广州５１０２２５）［摘要］利用Ｓｔｏｌｚ定理得出了与拉阿伯（Ｒａｂｂｅ）判别法等价的几个判别法中ｐ的意义，即ｐ为正项级数中通项ｕｎ单调减少的阶，并利用它来判别正项级数的敛散性．［关键词］正项级数；敛散性；Ｓｔｏｌｚ定理；无穷小的阶［中图分类号］Ｏ１７３［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１１）０４－０１９２－０４１引言在文［１］中

2、，证明了如下新比值判别法：∞［２］ｕｎ判别法Ⅰ设正项级数∑ｕｎ满足ｌｉｍｎｌｎ＝ｐ，则有ｎ＝１ｎ→∞ｕｎ＋１∞（ｉ）当ｐ＞１时，级数∑ｕｎ收敛；ｎ＝１∞（ｉｉ）当ｐ＜１时，级数∑ｕｎ发散．ｎ＝１１１∞ｌｎ－ｌｎ［３］ｕｎ＋１ｕｎ判别法Ⅱ设正项级数∑ｕｎ满足ｌｉｍ＝ｐ，则有ｎ＝１ｎ→∞ｌｎ（ｎ＋１）－ｌｎｎ∞（ｉ）当ｐ＞１时，级数∑ｕｎ收敛；ｎ＝１∞（ｉｉ）当ｐ＜１时，级数∑ｕｎ发散．ｎ＝１∞ｎ［３］熿ｕｎ燄判别法Ⅲ设正项级数∑ｕｎ满足ｌｉｍｅ＝ｐ，则有ｎ＝１ｎ→∞燀ｕｎ＋１燅∞（ｉ）当ｐ＞１时，级数∑ｕｎ收敛；ｎ＝１∞（ｉ

3、ｉ）当ｐ＜１时，级数∑ｕｎ发散．ｎ＝１文［１］还介绍了上述判别法与下述的拉阿伯（Ｒａｂｂｅ）判别法的等价性．∞［４］ｕｎ判别法（Ｒａｂｂｅ）设正项级数∑ｕｎ满足ｌｉｍｎ｛－１｝＝ｐ，则有ｎ＝１ｎ→∞ｕｎ＋１∞（ｉ）当ｐ＞１时，级数∑ｕｎ收敛；ｎ＝１∞（ｉｉ）当ｐ＜１时，级数∑ｕｎ发散．ｎ＝１［收稿日期］２００９－０４－２９；［修改日期］２００９－１０－１３［基金项目］仲恺农业工程学院教研资助项目（Ｇ２０８７０５０）第４期李亚兰：正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用１９３它们都是利用ｐ－级数作为比较标准而建立的，那么，其中的

4、极限ｐ与ｐ－级数中的ｐ有何联系？本文将探讨在以上的判别法中的极限ｐ的意义，并利用该意义来判别正项级数的敛散性．２本文结论及证明下面讨论以上判别法中极限ｐ的意义，引入施笃兹（Ｓｔｏｌｚ）定理．［５］引理（Ｓｔｏｌｚ）若数列｛｝ｘｎ，｛｝ｙｎ满足（ｉ）ｙ（ｎ＝１，２，…）；ｎ＋１＞ｙｎ（ｉｉ）ｌｉｍｙｎ＝＋∞，ｎ→∞ｘｎ＋１－ｘｎ（ｉｉｉ）ｌｉｍ存在（或＋∞），ｎ→∞ｙｎ＋１－ｙｎ则有ｘｎｘｎ＋１－ｘｎｌｉｍ＝ｌｉｍ（或＋∞）．ｎ→∞ｙｎｎ→∞ｙｎ＋１－ｙｎｕｎ定理若ｕｎ＞０（ｎ＝１，２，…），且ｌｉｍｎｌｎ＝ｐ，则有ｎ→∞ｕ

5、ｎ＋１１ｕｎ＝Ｏ（），ε＞０．ｐ－εｎｕｎｕｎ证由条件ｌｉｍｎｌｎ＝ｐ，可得ｎｌｎ＝ｐ＋αｎ，其中ｌｉｍαｎ＝０，即ｎ→∞ｕｎ＋１ｕｎ＋１ｎ→∞ｕｎ１ｌｎ＝（ｐ＋αｎ）．（１）ｕｎ＋１ｎ在（１）式中令ｎ＝１，２，…，Ｎ－１，并求和，有Ｎ－１Ｎ－１ｕｎ１∑ｌｎ＝∑（ｐ＋αｎ），ｎ＝１ｕｎ＋１ｎ＝１ｎ即Ｎ－１ｘＮ１ｌｎｕ１－ｌｎｕＮ＝（ｐ＋）∑，（２）ｙＮｎ＝１ｎＮ－１Ｎ－１αｎ１其中ｘＮ＝∑，ｙＮ＝∑，则有ｎ＝１ｎｎ＝１ｎｘＮ＋１－ｘＮ＝αＮ→０（Ｎ→∞）．ｙＮ＋１－ｙＮ由施笃兹（Ｓｔｏｌｚ）定理得ｘＮβＮ＝→０（Ｎ→∞）．

6、（３）ｙＮ将欧拉（Ｅｕｌｅｒ）公式Ｎ－１１∑＝Ｃ＋ｌｎ（Ｎ－１）＋εＮ（其中Ｃ为欧拉常数，且ｌｉｍεＮ＝０）ｎＮ→∞ｎ＝１代入（２）式，得ｌｎｕ１－ｌｎｕＮ＝（ｐ＋βＮ）［Ｃ＋ｌｎ（Ｎ－１）＋εＮ］＝（ｐ＋βＮ）ｌｎ（Ｎ－１）＋Ｃｐ＋ＣβＮ＋（ｐ＋βＮ）εＮ．（４）记β′Ｎ＝ＣβＮ＋（ｐ＋βＮ）εＮ，ｋ＝ｌｎｕ１－Ｃｐ，则，（Ｎ→∞），β′Ｎ→０且ｌｎｕＮ＝－（ｐ＋βＮ）ｌｎ（Ｎ－１）＋ｋ－β′Ｎ．所以－（ｐ＋β）ｋ－β′－（ｐ＋β）ｋ－β′烄Ｎ－１烌Ｎ－ｐ－βｕＮ＝ｅＮ（Ｎ－１）Ｎ＝ｅＮＮＮＮ．（５）烆Ｎ烎１９４大学数学

7、第２７卷又－（ｐ＋β）烄Ｎ－１烌Ｎｌｉｍ＝１，Ｎ→∞烆Ｎ烎由（３）得，故对于任给正数ε，存在充分大的Ｎ，使εε－＜βＮ＜．２２所以ε烄１烌βＮ烄１烌－２ε－βＮＮ＝＜＝Ｎ２．烆Ｎ烎烆Ｎ烎故当Ｎ充分大时，由（５）式，有ε烄１烌－ｐ０＜ｕＮ≤ｋ′·Ｎ·Ｎ２＝Ｏε，Ｎｐ－２烆烎其中ｋ′为某个正常数．所以烄１烌ｕｎ＝Ｏｐ－ε．烆ｎ烎∞结论拉阿伯（Ｒａｂｂｅ）判别法中极限ｐ为级数∑ｕｎ中通项ｕｎ单调减少的阶．ｎ＝１３应用举例∞∞１由结论知可以求出通项ｕｎ单调减少的阶与ｐ－级数∑ｐ比较，从而判断级数∑ｕｎ的敛散性．ｎ＝１ｎｎ＝１∞例１

8、判别级数∑ｌｎｐ（ｓｅｃπ）的敛散性．ｎ＝３ｎ解由于ｕｎ＞０（ｎ≥３），当ｎ→∞时，熿烄烌燄ｐ烄烌１２π１ｐ２πｕｎ＝ｌｎ１＋ｔａｎ＝ｌｎ１＋ｔａｎｐ燀２烆ｎ烎燅２烆ｎ烎ｐ烄烌２ｐ烄烌～１（ｔａｎ２π）～１π＝Ｏ１．ｐｐ２ｐ２ｎ２烆ｎ烎烆ｎ烎所以１当２ｐ＞１时，即ｐ＞时，级数收敛．２１当２ｐ＜１时，即ｐ