一类无限维李代数的低阶上同调群

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1、学校代码：10270分类号：0152.5学号：152200626硕士学位论文论文题目一类无限维李代数的低阶上同调群院系数理学院专业基础数学研究方向李代数研究生姓名干怡婷指导教师裴玉峰副教授完成日期二零一八年三月上海师范大学硕士学位论文II上海师范大学硕士学位论文摘要摘要本文研究了一类无限维李代数K(;)(其中,∈C)的低阶上同调群.李代数K(;)依赖于两个复参数,,可以看作是Virasoro代数的某种扩张.在同构意义下,本文分别计算了其二阶上同调群H2(K(;);C)和一阶上同调群H1(K(;);K(;)).根据,的不同取值,前者

2、的维数被分成了16种情况,后者的维数被分成了11种情况.关键词：无限维李代数,二阶上同调群,一阶上同调群.IAbstract上海师范大学硕士学位论文AbstractInthispaper,westudycohomologyofaclassofinfintiedimensionalLiealgebrasK(λ,µ).TheseLiealgebrasareequippedwithtwoindependentcomplexparametersλandµ.Uptoisomorphisms,wecomputethesecondandthefirstcohomologygrou

3、pswithtrivialcoefficientsofK(λ,µ).Accordingtothedifferentλandµ,theformerdimensioniscalculatedinto16caseswhilethelateroneiscalculatedinto11.KeyWords:InfinitedimensionalLieAlgebras,Secondcohomologygroup,Firstcoho-mologygroup.II上海师范大学硕士学位论文目录目录摘摘摘要要要IAbstractII目目目录录录I1前言11.1研究背景..........

4、............................11.2预备知识......................................11.3主要结果......................................31.4结构安排......................................92定理1.1的证明103定理1.2的证明27参考文献36致谢39I目录上海师范大学硕士学位论文II上海师范大学硕士学位论文第1章前言第1章前言1.1研究背景⊕二十世纪初,数学家E.Cartan给出了一种无限维李代数:Witt代数L=n

5、∈ZCLn,满足[Lm,Ln]=(m−n)Lm+n,∀m,n∈Z,我们知道Virasoro代数Vir=L⊕Cc是Witt代数的一维中心扩张,李括号定义为c3[Lm,Ln]=(n−m)Lm+n+(m−m)δm+n;0,[Ln,c]=0.12Gelfand和Fuchs分类了Witt代数的一维中心扩张.Virasoro代数在李理论,二维共形场理论和弦理论中起着重要的作用(可参见[2][3][6][7][8][9][11][13][14][15][16][18][19][20][21][22][23][26][27][28][29][32]).对Virasoro代数及其

6、相关代数的结构和表示已经有相当多的研究成果(可参见[1][4][5][10][12][17][24][25][30][31][33][34][35][36][37]).1.2预备知识本文研究了一类无限维李代数K(λ,µ),其定义如下:定义1.1.对于任意的λ,µ(λ,µ∈C),定义一个李代数K(λ,µ),它是一个向量空间,有一组C基Lm,Im,Wm,Jm,(∀m∈Z),其李括号运算为:对于任意的m,n∈Z,有[Lm,Ln]=(m−n)Lm+n,[Lm,Wn]=(λm−n)Wm+n,[Lm,In]=(µm−n)Im+n,[Lm,Jn]=((λ+µ−1)m−n)Jm

7、+n,[Wm,In]=(µm−λn)Jm+n,[Wm,Jn]=[Im,In]=[Jm,Jn]=[Wm,Wn]=[Im,Jn]=0.由定义可以看出K(λ,µ)可以看作是Witt代数的某种扩张.另外由Ln,Wn,n∈Z生成的子代数同构于文献[38]中的W(0,b)代数.定义1.2([39]).设g是复数域C上的一个李代数,双线性型α:g×g→C被称为g上的一个二阶上循环,如果满足以下条件:(1)α(x,y)=−α(y,x);(2)α(x,[y,z])+α(y,[z,x])+α(z,[x,y])=0.1第1章前言上海师范大学硕士学位论文对任意线性函数f:g→C,我们可

8、以定义一个g上的二阶上循