与Virasoro代数相关的一类李代数的顶点表示

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1、黑龙江大学硕士学位论文符号说明在本文第二章中，记c是复数域，A=C[t}1，⋯，亡孝1]是有外交换未定元的Laurent多项式环．记DerA是由环面A的所有导子构成的李代数，将它称为环面ASJ全导子李代数．设e七是d阶单位阵厶的第七列．令r=Zelo⋯o7Led为cd上的格．对佗=nlel+⋯+nded∈r，记护=贯1⋯￡≯，并令现=如杀，i=1，⋯，d．则称Di∈DerA：为度导子，即满足Di(tn)=他俨．对t‘=t‘1e1+⋯+让ded∈Cd及r=rlel+⋯+rded∈r，令D(牡，r)=亡r厶怔d1姚现．则D(u，7．

2、)∈DerA．本文第三章中，记N是非负整数，z是整数．V[M】表示形式幂级数空间，即y[p】】=

3、的历史，发展迅速，并且作为现代数学的基础，为Kac-Moody代数，顶点算子代数以及物理当中的保形向量场理论的发展起着巨大的推动作用．李代数是一类重要的非结合代数，它具有这样的数学结构，即一个向量空间连同一个满足Jacobi等式的双线性运算．李代数是在19世纪后期挪威数学家SophusLie在研究连续变换群的时侯引进的一个数学概念．而李代数这个名字是外尔引进的．近年来无限维李代数的结构及表示理论的研究一直是李理论研究的重要问题之一．由于Caftan，Weyl等人的在各方面研究所做出的努力，在二十世纪初，复数域上有限维半单纯李代数

4、的结构理论和表示理论已经接近完美．随着时间的推移，李代数不再仅仅被理解成为群论问题线性化的工具，它也成为了有限群理论以及线性代数中许多重要的问题的来源．李理论不断得到完善，它的理论与方法已渗透到数学和理论物理中的许多领域．李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升．作为半单纯李代数的自然推广，1968年Kac和Moody分别独立的引入了一类不仅包括经典的有限维半单纯李代数，在这类代数中还包含诸如仿射李代数等一些无限维李代数，被称为Kac-Moody代数的李代数．Kac-Moody代数被提出以来，各类新型无穷维李代数不断提

5、出．在二十世纪，无限维李代数的构造，其同构分类，其二上同调群的计算和Harish-chanda模的构造及分类的研究取得了飞速进展．而作为无穷维李代数的Virasoro代数，自从出现以来就备受数学和物理学家的关注，我们都知道利用李代数本身和他的表示可以构造一个新的更大的李代数(见文献【5】，【411，[421，[43】，[44】)，这样就很自然的出现了许多建立在Virasoro代数基础之上的代数结构，如loop代数，toroidal代数，广义Witt代数，Virasoro-like李代数(见【57】)，Heisenberg-Vir

6、asoro代数等，很多好的结果不断出现，如此一来，研究与Virasoro代数相关的李代数具有很好的意义(见[211)．随着其结构理论和表示理论的日益完善，它的结果、方法和处理问题的技巧对其他无限维李代数特别是与之相关联的无限维李代数有很好的借鉴作用。如SchrSdinger．Virasoro代数被看为是Virasoro代数的扩张，而扭SchrSdinger-Virasoro代数经常被学者们研究，因为它与SchrSdinger．Virasoro代数有一些不同的性质，近年来有许多关于这两个代数及其相关问题的研究(【15】，[19]，

7、【34】，【35】，[36]，【301)．Unterberger在[55】中构造"了．SchrSdinger-Virasoro代数的非平凡表示．近年来，专家们还比较关注的是这样的一类代数一N0vil(0v代黑龙江大学硕士学位论文数，通过这类代数可以实现出与Virasoro代数相关的李代数(见【45】，【46】)．顶点(算子)代数是一个新的基础代数结构(见[6】，【11】)．众所周知，诸如非扭仿射Kac-Moody李代数和Virasoro代数通过它们的最高权模可以与顶点代数和模相结合(见[12】)，另一方面，扭仿射李代数通过它们的

8、最高权模可以和顶点代数和它们的扭模相结合(见【20】)．一个自然的问题是：如何让类似的与Virasoro代数相关的李代数与其顶点代数相结合．仿射李代数的顶点算子表示在数学与物理学的研究当中都有广泛的应用，文献【28】给出了仿射李代数A：u的主顶点表示的构造后，文