Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构

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1、数学年刊2013，34A(1)：111—128Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构冰姚裕丰提要Poisson代数是指同时具有结合代数结构和李代数结构的一类代数，其结合代数结构和李代数结构满足Leibniz法则．确定了特征为0和特征为P>0的基域上的Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构．关键词Poisson代数，Witt代数，Virasoro代数，形变，Leibniz法则MR(2000)主题分类17B63，17B68，17B70中圉法分类O152．5文献标志码A文章编号1000—

2、8314(2013)01—0111-181引言代数的形变理论最早由Gerstenhaber[】提出并得到了深入的发展．而Poisson代数的形变理论是其中一个很有意义的课题．在Poisson代数的形变中，如果只改变李代数结构而不改变结合代数结构，则一般来说Leibniz法则不再成立．应对结合代数的结构做怎样的形变才能使得和形变的李代数结构共同满足Leibniz法则呢?从而提出如下问题：对于一个李代数，设其李括积为[一，一]，寻找一个结合代数结构，使得下面的Leibniz法则成立：[X木Y，Z]=[X，]水Y+爿c【Y，】，V

3、，Y，Z∈L．同时具有结合代数结构和李代数结构并且满足Leibniz法则的代数称为Poisson代数．Kubo[。]研究了特征零情形下有限维Poisson代数．一方面，他证明了如果作为结合代数是半单的，则其Poisson代数结构是标准的．另一方面，如果作为李代数是半单的，则其Poisson代数结构是平凡的．同时，Kubo还给出了具有简约李代数结构的有限维非交换Poisson代数的一些刻画．之后Kubo[】进一步确定了仿射Kac—Moody代数上的所有Poisson代数结构．在Kubo的工作基础之上，靳全勤和佟洁[s-12】系

4、统地研究了扩张仿射Kac—Moody代数上的Poisson代数结构．本文确定了基域特征为0和特征为P>0上的witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构．2预备知识在本文中，我们假设F是具有任意特征的基域，所有的模(向量空间)都定义在F本文2010年12月3日收到，2012年4月8日收到修改稿．上海海事大学数学系，上海201306．E—mail：yfyao@shmtu．edu．an本文受到国家自然科学基金(No．11126062，No．11201293)和上海市教委科研创新基金(No．13YZ077)的资助．

5、112数学年刊34卷A辑2．1素特征域上的Witt代数和Virasoro代数在这一小节，假定基域F具有特征P>0．根据定义，F上的Witt代数w(1)是维的李代数，具有线性基{e一，e0，⋯，ep-。)，其李括积满足=．根据定义，F(charF>3)上的Virasoro代数Vir是Witt代数w(1)的一维中心扩张．即Vir是+1)一维的李代数，具有线性基{d一1，do，⋯，一2，％)，其李括积满足Ida,dA=(j-i+_j+一J若_1<⋯≤，(2．2)l0，若i+J<一1或i+J>P一2且【dt，d1=0，一1≤i≤P一

6、2(2．3)2．2特征零域上的Witt代数和Virasoro代数在这一小节，假定基域F的特征为零．根据定义，F上的witt代数w是一个无限维李代数，具有线性基{eili∈z)，其李括积满足【ei，ej]=(J—i)ei+J，Vi，J∈z．根据定义，F上的Virasoro代数Vir是Witt代数w的一维中心扩张，即Vir具有线性基{dk，％fk∈z)，其李括积满足[d，dj]：(J—i)dt+J+{，一J!-_d'o，Vi,J∈z(2．4)且【dt，d】=0，Vi∈z．(2．5)2．3Poisson代数下面定义Poisson代

7、数．定义2．1基域F上的Poisson代数(，，【一，一])是F上的一个向量空间，同时具有结合代数乘积以及李代数结构[一，一】，且以下的Leibniz法则成立：(ab，CJ=[a，c]b+a[b，c]，Va，b，c∈A．(2．6)注2．1定义2．1中的(2．6)等价于下面的条件：[a，bC]=[a，b]C+b[a，c]，Va，b，C∈A定义2．2两个Poisson代数(，，[一，一])和(，，[一，一】)称为同构的，如果作为结合代数(，)与(，)同构，且作为李代数(A，[_，一])与(A，[一，一])同构．有两类Poisso

8、n代数(A，，[一，一】)是最简单的，即具有任意一个结合代数结构，且，A1=0，以及具有任意一个李代数结构，且A=0．设(A，，[一，一])是一个Poisson代数．如果作为结合代数，B是(，)的一个子代数(理想)，则称B为的一个一子代数(理想)．如果作为李代数，A是(，f一，一1)的一个