半格顶点代数的表示与TKK代数的分次自同构群

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1、厦门大学硕士学位论文半格顶点代数的表示与TKK代数的分次自同构群姓名：叶从峰申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：谭绍滨20080401摘要顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象，它与仿射Kae—Moody代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系([Bol，MS])．格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一．S．Berman、C．Dong和S．Tan研究了与toroidal李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数([BDT])．设L是—个偶格，屹是相应于己的格顶点代数．作为向量空间，屹是对称代数s(Hoct-1C[t-1】)和群代数C[L]的张量积，其中H=Coz

2、L．【BDT]中考虑的格L由ci，di(i=1，⋯，／／)张成，并有一个Z一值双线性型(·，·)使得：(白，勺)=(di，dj)=0，(白，呜)=6i,j．S．Berman、C．Dong和S．Tan将半格顶点代数定义为V：=S(H@ct-1C[t一1】)ocC[Lo]，I，其中Lc=Ezq．半格顶点代数y是格顶点代数屹的一个顶点子代数。t=1S．Berman、C．Dong和S．Tan定义了一个结合代数A．4由eQ和也生成，满足生成关系：eo=1，ea+B=eaep，die口一eadi=(di，Q)e口，也奶=djdi，其中a，p∈Lc，1Si，J≤∥．更重要的是，他们证明了结合代数A的(不

3、可约)表示与半格顶点代数y的(不可约)表示之间有一个一一对应．他们可以由A的一个(不可约)表示构造出y的一个(不可约)表示，也可以由y的一个(不可约)表示得到4的一个(不可约)表示．这就意味着，为结合代数4寻找更多表示的工作是很有意义的．在本论文的第一章，我们首先定义了一个结合代数AQ．设Q=(qij)是一个元素都是非零复数的∥×∥复矩阵，并且满足条件：吼t=1，％=啄1，(1≤i，J≤∥)．结合代数AQ由en，di生成，满足生成关系：e。=1，eQeo=(II谚啦)e口+卢，dtea—e口dt=(di，乜)eQ，以嘭=彩也，1≤t

4、i，J≤∥．当Q的所有元素都为1i=1{=1时，结合代数AQ就是[BDT]中定义的结合代数A．接下来，我们构造了两类不可约AQ一模：V(a1I．一，a∥_1'b)和v(a)．另外，我们也研究了这两类模的自同构群．A1型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的TKK代数．从欧氏空间的一个半格S出发，可以定义一个Jordan代数了(S)，然后利用所谓的Tits-Kantor—Koecher构造法可以得到一个TKK代数，进而得到一个A1型的扩张仿射李代数．B．Allison、N．Azam和S．Berman等人证明了，欧氏空间掣中半格的相似等价类与nullity为∥的A1型扩张仿射根系的

5、同构等价类一一对应([AABGP])．在欧氏空间R2中，只有两个不相似的半格S和S7，其中S是格而S7是非格半格．Jordan代数了(S)和了(S7)都有一个自然的Z2一分次．这个分次自然地诱导出TKK代数乡(歹(S))和BabyTKK代数9(了(S，))上的一个z2一分次．在本论文的第二章，我们分别研究了TKK代数乡(歹(S))和BabyTKK代数9(歹(S，))的z2一分次自同构群．关键词：半格顶点代数、表示、Jordan代数、TKK代数、分次自同构群IVAbstractVertexalgebrasareanewclassofmathematicalobjectdevelopedint

6、heendofthetwentiethcentury．Theirdefinitioniswellmotivatedbothbyrepre-sentationtheoryofaffineKauc—Moodyalgebrasandtheconformalfieldtheoryinphysics．(cf．[Bol，MS])Thelatticevertexalgebrasformoneofthemostimportantandfunda-mentalclassesofvertexalgebras．S．Berman，C．DongandS．Tanstudiedtherepresentationtheo

7、ryforcertain“halflattice”vertexalgebraswhicharerelatedtothestudyingoftherepresentationtheoryfortoroidalLieal—gebras([BDT])．LetLbeanevenlatticeandlet圪betheassociatedlatticevertexalgebra．Asavectorspace，vListhetenso