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《代数系统－半群与群》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(3)半群中元素的幂对于半群V=o是可结合的，元素的幂:∀x∈S规定：x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+xnoxm=xn+m(xn)m=xnm（4）独异点中的元素的幂:独异点V=∀x∈S规定：x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和子独异点如果V=是半群，T⊆S，T对V中的运算o封闭，则是V的子半群．如果V=是独异点，T⊆S，T对V中的运算o封闭，且e∈T，则=是V的子独异点．上次课主要内容一、半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统．(1)设V=是代数系统，o为
2、二元运算，如果o是可结合的，则称V为半群(2)设V=是半群，若e∈S是关于o运算的单位元，则称V是幺半群，也叫做独异点．有时也将独异点V记作(S，o，e)。例：设S={(a0)
3、a,b∈R}二阶矩阵，其上的运算*为矩阵的乘法0b二阶单位矩阵为幺元a0V=为独异点T={(00)
4、a∈R}T是S的子集且对运算*封闭，则V1=是V的子半群由于e不属于T,且V1中没有幺元所以V1不是V的子独异点二、半群和独异点的同态映射(1)设Vl=<{Sl，o>，V2=是半群函数f：Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f
5、(x)*f(y)运算的象等于象的运算则称f为半群Vl到V2的同态映射，简称为同态．(2)设Vl=<{Sl，o，e1>，V2=是独异点，函数f：Sl→S2若对任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)*f(y)运算的象等于象的运算且f(e1)=e2则称f为独异点Vl到V2的同态映射，简称同态．例：上面的例子可定义V到V1的同态映射f是个半群自同态例：与是二个半群及独异点建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可验证f是保持运算的例：设S={a,b,c}运算表为右边，V=为半群构造V1=定义函
6、数fa(x)=a*xfa∈SS其中的运算o为函数的复合则V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(a*b)=fa*b因为fa*b（x)=(a*b)*x=a*(b*x)=fa(fb(x))=(faofb)(x)所以有h(a*b)=fa*b=faofb是保持运算的映射所以h是V到V1的半群同态若取值域h（S)={fa,fb,fc}⊆SS那么V2=则h是V到V2的半群同构Of
7、afbfcfafafbfcfbfbfcfafcfcfafb例：给定一个正方形，定义以中心做变换：r1：保持不动r2：逆时针旋转90度r3：逆时针旋转180度r4：逆时针旋转270度定义两个变换的合成运算aob表示先进行a变换再进行b变换可看出：对运算封闭运算具有结合律有幺元r1任意元素a关于合成运算均有逆元a-1使得aoa-1=a-1oa=r1很多代数系统均具有以上三个性质把具有以上三个性质的代数系统抽象出来称为“群”Or1r2r3r4r1r1r2r3r4r2r2r3r4r1r3r3r4r1r2r4r4r1r2r3§10．1群的定义与性质一、群的定义1、定
8、义设是代数系统，◦为二元运算．如果◦运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G，则称G为群。在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元群是半群和独异点的特定情况,有关半群和独异点的性质在群中均成立例：常规的群，，都是群而，，Z+正整数不是群例：设n是大于1的正整数，n阶实矩阵的加法是群n阶实矩阵的乘法不是群任何矩阵并非均可逆例：+为集合的对称差运算是群每个集合的逆元是什么？幺元?例：Zn={0，1，
9、2，···，n一1}+n为模n加法是群（幺元＝0、每个元素x的逆元为n-x）例：o为函数的复合运算．是否是群？A上的双射函数构成的集合?2、一个典型的群例：设G＝｛a,b,c,e｝◦为G上的二元运算G的运算具有以下的特点：e为G中的单位元；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素．称这个群为K1ein四元群，简称四元群．◦eabceeabcaaecbbbceaccbae二、特殊的群1、定义11．5(1)若群G是有穷集，则称G是有限群否则称为无限群．群G的基数称为群G的阶．(2)
10、只含单位元的群称为平凡群．(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称
